Question

Quero calculo..Um professor de matemática pediu aos alunos da sala que escrevesse uma p.a. Duas progressões aritméticas por eles foram(2,8,14…458) e (6,10,14,…,386).Quantos termos em comum possuem essas progreções ?

Answer 1

Vamos criar uma P.A. em comum  a partir das razões que sabemos, sendo o primeiro termo em comum é o 14, só olhar a questão. Quem serão os próximos?
 P1=(14,20,26,32,38,44,50,56,62,...386) 
P2=(14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,54,58,62,...386)

Agora perceba que a razão da P.A. em comum é 12
PC=(14,26,38,50,...386)
a1 = 14
veja que o 386 é o maior termo em comum porque "n" dá inteiro (pertence à P1)
P1 é dada pela equação (458=14+((n1)-1)*6)
n1=75 termos
agora veja o 386:    386= 14+(n-1)*6  ====>n-1=372/6 ==> n = 63
e P2 ==> 386=14+((n2)-1)*4
n2= 94 termos

Sabendo que essa P1 terá 63 termos vamos descobrir o número de termos da PC. Observando os detalhes abaixo descobriremos que a razão é dada por uma reta... 
Só observar que se fosse (14,20,26) ==> 2/3 em comum, se fosse (14,20,26,32,38) ===> 3/5 dos termos são comuns,
 se fosse (14,20,26,32,38,44,50,56,62)==>5/9 em comum
Com esses dados podemos construir uma reta com as cordenadas 
(2,3),(3,5), (5,9)...(x,y)
sendo q o coeficiente angular da reta é dado por (5-3)/(3-2) = 2 = a 
e o coeficiente linear é dado por y = 2x+b (2,3) ==>3=2*2+b ==> b=-1
logo a equação da reta é y=2x-1, e sendo ela com 63 termos, substituiremos no y =====> 63=2x-1 
x=32

Então, a Progressão em Comum(PC) terá(ão) 32 termos.

Answer 2

um professor de matemática pediu a seus alunos que escrevessem uma PA. duas progressões escritas por eles foram PA(2, 8, 14,..., 458) e PB(6, 10, 14,..., 386). quantos termos em comum possuem essas progressões.

Explicação passo-a-passo:

o primeiro termo em comum é 14  

da PA  vem (14, 26, 38, 50, 386)

da PB vem (14, 26, 38, 50, 386)  

numero de termos em comum

a1 = 14, an = 386, r = 12

termo geral

an = a1 + r*(n - 1)

386 = 14 + 12n - 12

12n = 384

n = 384/12 = 32 termos