Question

⚠️Quero ajuda, gente alguem??

Resolver a Eq Diferencial de Bernoulli a seguir:

não roube pts pq denuncio!!!

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}-y=e^x\cdot y^2$

Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, também conhecida como Equação de Bernoulli, que assume a forma $y'+P(x)y=Q(x)y^n$.

Para resolvê-la, devemos reduzir o grau da equação para $n=0$. Isto é possível ao realizar a substituição $y=z^{1-n}$, em que $z=z(x)$.

Usando $n=2$, teremos:

$y=z^{1-2}\\\\\\ y=z^{-1}$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}(z^{-1})$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))=\dfrac{d(y(x))}{dy}\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia

$\dfrac{d}{dy}(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dz}(z^{-1})\cdot \dfrac{dz}{dx}$

Aplique a regra da potência

$1\cdot y^{1-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}=(-1)\cdot z^{-1-1}\cdot \dfrac{dz}{dx}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\dfrac{dy}{dx}=-z^{-2}\cdot \dfrac{dz}{dx}$

Substituindo estes resultados na equação, teremos:

$-z^{-2}\cdot\dfrac{dz}{dx}-z^{-1}=e^x\cdot(z^{-1})^2$

Calcule a potência, aplicando a regra $(a^b)^c=a^{b\cdot c}$

$-z^{-2}\cdot\dfrac{dz}{dx}-z^{-1}=e^x\cdot z^{-2}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $(-z^2)$

$\dfrac{dz}{dx}+z=-e^x$

Então, utilizamos o método do fator integrante para resolver esta equação. Existe uma função $\mu(x)$ tal que ao multiplicarmos ambos os lados da igualdade por ele, chegaremos a $\displaystyle{z\cdot\mu(x)=\int Q(x)\cdot \mu(x)\,dx}$. Ele pode ser calculado pela fórmula: $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.

Substituindo $P(x)=1$, temos:

$\mu(x)=e^{\int 1\,dx}$

Resolvemos a integral no expoente: $\displaystyle{\int 1\,dx}$

Para isso, aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1$, sabendo que $1=x^0$

$\dfrac{x^{0+1}}{0+1}\\\\\\ x$

Assim, o fator integrante da equação será:

$\mu(x)=e^x$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo fator integrante

$e^x\cdot\left(\dfrac{dz}{dx}+z\right)=e^x\cdot (-e^x)\\\\\\\ e^x\cdot \dfrac{dz}{dx}+e^x\cdot z=-e^{2x}$

Podemos reescrever a expressão à esquerda da igualdade utilizando a regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.

$\dfrac{d}{dx}(e^x\cdot z)=-e^{2x}$

Integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\displaystyle{\int\dfrac{d}{dx}(e^x\cdot z)\,dx=\int -e^{2x}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int d(e^x\cdot z)=-\int e^{2x}\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral da derivada de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int d(F(x))=F(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral da função exponencial é a própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Antes, faça uma substituição $u=2x$ na integral à direita da equação: diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(2x)$

Calcule as derivadas, ainda de acordo com as regras anteriores

$\dfrac{d}{du}(u)\cdot \dfrac{du}{dx}=2\cdot \dfrac{d}{dx}(x)\\\\\\ 1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=2\cdot1\cdot x^{1-1}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2$

Isole o diferencial $dx$

$dx=\dfrac{du}{2}$

Assim, teremos:

$\displaystyle{\int d(e^x\cdot z)=-\int e^{u}\cdot\dfrac{du}{2}}$

Aplique a linearidade e calcule as integrais

$\displaystyle{\int d(e^x\cdot z)=-\dfrac{1}{2}\cdot\int e^{u}\,du}\\\\\\ e^x\cdot z=-\dfrac{1}{2}\cdot e^{u}+C$

Desfaça a substituição $u=2x$ e divida ambos os lados da igualdade por um fator $e^x$

$e^x\cdot z=-\dfrac{1}{2}\cdot e^{2x}+C\\\\\\ z=-\dfrac{1}{2}\cdot e^x+C_1e^{-x}$

Desfaça a substituição $y=z^{-1}$

$y=\left(-\dfrac{1}{2}\cdot e^x+C_1e^{-x}\right)^{-1}\\\\\\\ y=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}\cdot e^x+C_1e^{-x}}$

Multiplique a fração por um fator $\dfrac{2e^x}{2e^x}$ e considere $2\cdot C_1=C$

$\Large{\boxed{y=\dfrac{2e^x}{C-e^{2x}},~C\in\mathbb{R}}}$

Esta é a família de funções que são soluções desta equação diferencial.