Question

( QUERO A RESOLUÇÃO )USF-SP Seja k o número real que satisfaz simultaneamente as equações sen x = (k-1) . raiz de 2 e cos x = raiz de 2 - 3k.o valor de k é:a) 1/2 <-------b)3c)3 ou 1/2d) - 1/2e) 1/3

Answer 1

$\mathsf{sen~x=(k-1)\cdot \sqrt{2}}$

$\mathsf{cos~x=\sqrt{2-3k}}$


$\mathsf{sen^{2}+cos^{2}x=1}\\\\ \mathsf{[(k-1)\cdot \sqrt{2}]^{2}+ (\sqrt{2-3k})^{2}=1}\\\\ \mathsf{(k-1)^{2}\cdot 2+ 2-3k=1}\\\\ \mathsf{(k^{2}-2k+1)\cdot 2+ 2-3k=1}\\\\ \mathsf{2k^{2}-4k+2+ 2-3k=1}\\\\ \mathsf{2k^{2}-7k+3=0}$


Resolvendo por soma e produto temos que:

S = - b / a

S = 7 / 2


P = c / a

P = 3 / 2


Logo as raízes são

x' = 3

x" = 1 / 2


Resposta: C


Bons estudos no Brainly! =)

Answer 2

A sentença correta é a dada na alternativa de letra c) o valor de k é 3 ou 1/2.

Sistema de equações

Seja o seguinte sistema de equações:

sen x = (k - 1) · √2 (I)

cos x = √2 - 3k (II)

Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade, nas duas equações:

(sen x)² = [(k - 1) · √2]² (I)

(cos x)² = √(2 - 3k)² (II)

Somando as equações I e II:

(sen x)² + (cos x)² = [(k - 1) · √2]² + √(2 - 3k)²

sen²x + cos²x = [(k - 1) · √2]² + √(2 - 3k)²

Sabe-se que sen²x + cos²x = 1. Daí:

[(k - 1) · √2]² +√(2 - 3k)² = 1

(√2k - √2)² + 2 - 3k = 1

2k² - 4k + 2 + 2 - 3k = 1

2k² - 7k + 3 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau pela Fórmula de Bháskara:

a = 2

b = -7

c = 3

k = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

k = [-(-7) ± √((-7)²- 4 · 2 · 3)]/(2 · 2)

k = [7 ± √(49 - 24)]/4

k = [7 ± √25]/4

k = [7 ± 5]/4

k = (7 + 5)/4 ou k = (7 - 5)/4

k = 12/4 ou k = 2/4

∴ k = 3 ou k = 1/2

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