Question

Quero a explicação: Seja ABCD um losango, cuja a diagonal BD é 4 e a AC é mede 8. Se O é o centro do losango e P um ponto sobre CD tal que CD é perpendicular a OP então a área do triângulo OPD vale quanto?

Answer 1

(véase la figura de abajo) (abaixo esta a figura)
1) Teorema derivado de Pitágoras
$\dfrac{1}{\overline{OP}^2}=\dfrac{1}{\overline{OC}^2}+\dfrac{1}{\overline{OD}^2}\\ \\ \dfrac{1}{\overline{OP}^2}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}\\ \\ \dfrac{1}{\overline{OP}^2}=\dfrac{5}{16}\\ \\ \\ \boxed{\overline{OP}=\dfrac{4}{\sqrt5}}$

2) Teorema de pitágoras en OPD

$\overline{PD}^2=\overline{OD}^2-\overline{OP}^2\\ \\ \overline{PD}^2=4-\dfrac{16}{5}\\ \\ \boxed{\overline{PD}=\dfrac{2}{\sqrt5}}$

3) área del triángulo OPD
$A_{\triangle OPD}=\dfrac{1}{2}\times\overline{OP}\times \overline{PD}\\ \\ A_{\triangle OPD}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{\sqrt5}}\times\dfrac{2}{\sqrt5}}\\ \\ \\ \boxed{\boxed{A_{\triangle OPD}=\dfrac{4}{5}}}$