Question

quero 130, mas se der a 131 também.

Answer 1

Questão 130.

$\alpha$ é solução da equação:

$\sqrt{4+3x}-x=0\\\\ \sqrt{4+3x}=x$


Elevando os dois lados ao quadrado, devemos ter

$\big(\sqrt{4+3x}\big)^2=x^2\\\\ 4+3x=x^2\\\\ 0=x^2-4-3x\\\\ x^2-3x-4=0~~~\Rightarrow~~\left\{\!\begin{array}{l} a=1\\b=-3\\c=-4 \end{array} \right.\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)\\\\ \Delta=9+16\\\\ \Delta=25\\\\\\ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}\\\\\\ x=\dfrac{3\pm 5}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{3-5}{2}&~\text{ ou }~&x=\dfrac{3+5}{2}\\\\ x=\dfrac{-2}{2}&~\text{ ou }~&x=\dfrac{8}{2}\\\\ x=-1&~\text{ ou }~&x=4 \end{array}$


ATENÇÃO. Devemos testar os valores de $x$ encontrados para verificar se são de fato soluções da equação original:

$\bullet\;\;$ Testando $x=-1:$

$\sqrt{4+3\cdot (-1)}-(-1)=0\\\\ \sqrt{4-3}+1=0\\\\ \sqrt{1}+1=0\\\\ 1+1=0\\\\ 2=0~~~~~~\text{(absurdo!!!)}$

Logo, $x=-1$ não é solução para a equação dada.


$\bullet\;\;$ Testando $x=4:$

$\sqrt{4+3\cdot 4}-4=0\\\\ \sqrt{4+12}-4=0\\\\ \sqrt{16}-4=0\\\\ 4-4=0\\\\ 0=0~~~~~~(\checkmark)$


Logo, a única solução é $x=4.$ Portanto, $\alpha=4.$


A única alternativa que é satisfeita é

Alternativa $\mathbf{d)~}1\le \alpha\le 5.$

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Questão 131.

$\sqrt{x^2+1}=x-1$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$\big(\sqrt{x^2+1}\big)^2=(x-1)^2\\\\ x^2+1=(x-1)^2\\\\ \diagup\!\!\!\!\! x^2+\diagdown\!\!\!\! 1=\diagup\!\!\!\!\! x^2-2x+\diagdown\!\!\!\! 1\\\\ 0=-2x\\\\ x=0$


ATENÇÃO: Devemos testar o valor encontrado, para verificar se $x=0$ é de fato solução para a equação original dada:

$\bullet\;\;$ Testando $x=0:$

$\sqrt{0^2+1}=0-1\\\\ \sqrt{1}=-1\\\\ 1=-1~~~~~~\text{(absurdo!!!)}$


Logo, a equação não tem solução real.

Resposta: alternativa $\mathbf{d) }\text{ n\~ao possui ra\'izes reais.}$


Bons estudos! :-)