Question

Queria saber da resposta porém passo a passo

Answer 1

Calculando esse limite, encontramos:

$\boldsymbol{\red{\sf\underset{x\,\to\,\infty}{lim}~\dfrac{4x^4+5}{2x^4-5x^2+2}=2.}}$

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Explanação

Vamos lá? É-nos dado o limite:

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                                       $\Large\sf L=\underset{x\,\to\,\infty}{lim}~\dfrac{4x^4+5}{2x^4-5x^2+2}$

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É de praxe utilizar as propriedades dos limites para calcular o valor de um limite. Todavia, veja que se fizermos isto aqui, teríamos algo do tipo

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                                    $\large\sf L=\dfrac{4\infty^4+5}{2\infty^4-5\infty^2+2}=\dfrac{\infty}{\infty}$

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, que é uma indeterminação matemática; ou seja, uma expressão com um valor indefinido; impossível de existir no conjunto de números que conhecemos. Por causa disso, faz-se imprescindível o uso de recursos algébricos para que possamos nos desviar destas situações.

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PASSO 1

No caso de limites de frações tendendo ao infinito, é interessante dividir o numerador e o denominador por $x^n$, onde $n$ é seu maior grau, a fim de fazer com que apareça frações menores para que possamos por o Teorema do Limite no Infinito⁽¹⁾ em prática. Em nosso caso estaremos dividindo por $x^4$ já que ele é o maior grau da expressão:

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ﾠﾠ$\large\begin{array}{l}\sf L=\underset{x\,\to\,\infty}{lim}~\dfrac{4x^4+5}{2x^4-5x^2+2}\\\\\sf L=\underset{x\,\to\,\infty}{lim}~\dfrac{\frac{4x^4}{x^4}+\frac{5}{x^4}}{\frac{2x^4}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}+\frac{2}{x^4}}\\\\\sf L=\underset{x\,\to\,\infty}{lim}~\dfrac{4+\frac{5}{x^4}}{2-\frac{5}{x^2}+\frac{2}{x^4}}\end{array}$

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PASSO 2

Antes de aplicar o teorema supracitado, vamos usar algumas das propriedades dos limites⁽²⁾⁽³⁾⁽⁴⁾ para trazer mais sentido:

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ﾠﾠ$\large\begin{array}{l}\sf L=\dfrac{\underset{x\,\to\,\infty}{lim}(4+\frac{5}{x^4})}{\underset{x\,\to\,\infty}{lim}(2-\frac{5}{x^2}+\frac{2}{x^4})}\end{array}$

ﾠﾠ$\large\begin{array}{l}\sf L=\dfrac{\underset{x\,\to\,\infty}{lim}4+\underset{x\,\to\,\infty}{lim}\frac{5}{x^4}}{\underset{x\,\to\,\infty}{lim}2-\underset{x\,\to\,\infty}{lim}\frac{5}{x^2}+\underset{x\,\to\,\infty}{lim}\frac{2}{x^4}}\\\\\sf L=\dfrac{4+\underset{x\,\to\,\infty}{lim}\frac{5}{x^4}}{2-\underset{x\,\to\,\infty}{lim}\frac{5}{x^2}+\underset{x\,\to\,\infty}{lim}\frac{2}{x^4}}\end{array}$

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PASSO 3

Segundo o Teorema do Limite no Infinito⁽¹⁾, quando dividimos um número real $a$ por um número muito grande, tanto positivo quanto negativo, o resultado se aproximará de zero. Podemos provar isso na prática, por exemplo, dividir 1 por 999999: 1/999999 = 0,0000001... Deu pra entender? Por isso que o limite de $\frac{a}{x^n}$ com $x$ tendendo ao infinito sempre será igual a 0. Então segue que:

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ﾠﾠ$\large\begin{array}{l}\sf L=\dfrac{4+\cancel{\underset{x\,\to\,\infty}{lim}\frac{5}{x^4}}^{^{=\,0}}}{2-\cancel{\underset{x\,\to\,\infty}{lim}\frac{5}{x^2}}^{^{=\,0}}+\cancel{\underset{x\,\to\,\infty}{lim}\frac{2}{x^4}}^{^{=\,0}}}\\\\\sf L=\dfrac{4+0}{2-0+0}\\\\\sf L=\dfrac{4}{2}\\\\\boldsymbol{\red{\sf L=2}}.\end{array}$

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Sendo assim, o limite existe e é igual a 2. Alguma dúvida? Pergunte nos comentários! Abraços, Nasgovaskov.

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Referências

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$\boldsymbol{\begin{array}{l}\sf^{(1)}\underset{x\,\to\,\pm\infty}{lim}\,\dfrac{a}{x^n}=0,~a,n\in\mathbb{R}^*\\\\\sf^{(2)}\underset{x\,\to\,a}{lim}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\,\to\,a}{lim}f(x)}{\underset{x\,\to\,a}{lim}g(x)},~\underset{x\,\to\,a}{lim}g(x)\neq0\\\\\sf^{(3)}\underset{x\,\to\,a}{lim}\,[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\,\to\,a}{lim}f(x)\pm\underset{x\,\to\,a}{lim}g(x)\\\\\sf^{(4)}\underset{x\,\to\,a}{lim}\,b=b\end{array}}$