Question

quem souber ajude. .............

Answer 1

Olá amigo!

A área em destaque, seŕa o caluculo da integral. Isto é, o calculo da integral com limites de integração de 1 a 4 na direção de x.


A = Integral(a,b) [F(x)-G(x)]dx

Onde, F(x) é a função superior.

G(x) é a função inferior.
_____________

Nesse caso, F(x) será Raiz(X)

Já G(x) Será Y = 0. Ou seja, o eixo das abscixas.

a = 1
b = 4
_________


A = Integral(1,4) [ Raiz(x)-0]dx

A = Integral(1,4)[ X^(1/2)]dx

A = x^(1/2+1)/(1/2+1) ] (1,4)

A = x^(3/2)/(3/2) ] (1,4)

A = 2x^(3/2)/3 ] (1,4)

A = 2Raiz( x^ 3)/3 ] (1,4)

A = 2Raiz( 4^3)/3 - 2Raiz( 1^3)/3

A = 2Raiz(64)/3 - 2/3

A = 2*8/3 - 2/3

A = 16/3 - 2/3

A = 14/3

A = (14/3)u.a

Answer 2

 Olá!!

 Podemos, também, encontrar a área em questão aplicando os conceitos de integral dupla sobre regiões quaisquer.

 A região é do TIPO I. A grosso modo, essa região é vista de uma forma horizontal, ou seja, as funções são limitadas superiormente e inferiormente. No tipo II, vemos a região verticalmente (funções limitadas pela direita e esquerda).

 Daí,

$\\ A = \int_{1}^{4} \int_{0}^{\sqrt{x}} dy \ dx \\\\\\ A = \int_{1}^{4} \left [ y \right ]_{0}^{\sqrt{x}} \ dx \\\\\\ A = \int_{1}^{4} (\sqrt{x} - 0) \ dx \\\\\\ A = \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} \ dx \\\\\\ A = \left [ \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} \right ] \\\\\\ A = \frac{2}{3} \cdot \left ( 4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right ) \\\\\\ A = \frac{2}{3} \cdot (8 - 1) \\\\\\ \boxed{A = \frac{14}{3} \, \text{u.a}}$