Question

Quem sabe responder abaixo?

Answer 1

Para invertermos a ordem de integração, é fundamental compreender qual é a região de integração em causa.

É desde já claro que, para cada $x\in[0,2]$, vamos percorrer $x\in[x^2,4]$. Por outras palavras. Para cada $x$ fixo entre 0 e 2, $y$ toma valores entre $x^2$ e 4. Concluímos assim que a região de integração corresponde à porção do plano acima da parábola de equação $y=x^2$ e abaixo da reta $y=4$, com $0<x<2$.

Uma forma mais simples de ver isto é fazendo um esboço. A região de integração, encontra-se assinalada a azul.

Assim, fica claro que $y\in[0,4]$. Fixando $y$, verificamos que $x \in [0,x^2]$, pois só toma valores desde a reta $x=0$ até à parábola $y= x^2 \implies x = \sqrt{y}$. Portanto, temos:

$\displaystyle \int\limits_0^2 \left(\int\limits_{x^2}^4 f(x,y) \textrm{ d}y\right) \textrm{ d}x = \int\limits_0^4 \left(\int\limits_0^{\sqrt{y}} f(x,y) \textrm{ d}x\right) \textrm{ d}y.$