Question

QUEM RESPONDER A LETRA A = 25 PONTOS
(Só a letra a) mesmo galera,o resto eu me viro kkk)

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\bullet\;\;$ O versor de $\overset{\to}{AB}$ é o vetor unitário (módulo $1$) seguinte:

$\overset{\to}{AB^{\circ}}=(\frac{2}{3};\,\frac{1}{3};\,\frac{2}{3})\\ \\ \overset{\to}{AB^{\circ}}=\frac{1}{3}\cdot (2;\,1;\,2)$


Como o vetor acima nos fornece a direção de $\overset{\to}{AB},$ então o vetor $\overset{\to}{AB}$ pode ser escrito como

$\overset{\to}{AB}=t\cdot (2;\,1;\,2)\\ \\ \overset{\to}{AB}=(2t;\,t;\,2t)$

para algum escalar $t\neq 0.$


$\bullet\;\;$ Pela propriedade da soma de vetores, temos que

$\overset{\to}{AB}+\overset{\to}{BC}=\overset{\to}{AC}\\ \\ (2t;\,t;\,2t)+\overset{\to}{BC}=C-A\\ \\ (2t;\,t;\,2t)+\overset{\to}{BC}=(4;\,8;\,0)-(0;\,2;\,-2)\\ \\ (2t;\,t;\,2t)+\overset{\to}{BC}=(4-0;\,8-2;\,0+2)\\ \\ (2t;\,t;\,2t)+\overset{\to}{BC}=(4;\,6;\,2)\\ \\ \overset{\to}{BC}=(4;\,6;\,2)-(2t;\,t;\,2t)\\ \\ \overset{\to}{BC}=(4-2t;\,6-t;\,2-2t)\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Como $ABCD$ é um retângulo, temos que

$\overset{\to}{AB}$ é ortogonal a $\overset{\to}{BC},$ e portanto o produto escalar entre estes vetores é zero:

$(2t;\,t;\,2t)\cdot (4-2t;\,6-t;\,2-2t)=0\\ \\ 2t\cdot (4-2t)+t\cdot (6-t)+2t\cdot (2-2t)=0\\ \\ 8t-4t^{2}+6t-t^{2}+4t-4t^{2}=0\\ \\ -9t^{2}+18t=0\\ \\ -9t\cdot (t-2)=0\\ \\ t=0\text{ (n\~{a}o serve)}\;\;\text{ ou }\;\;t-2=0\\ \\ t-2=0\\ \\ t=2$


Logo, o vetor $\overset{\to}{AB}$ é

$\overset{\to}{AB}=t\cdot (2;\,1;\,2)\\ \\ \overset{\to}{AB}=2\cdot (2;\,1;\,2)\\ \\ \overset{\to}{AB}=(2\cdot 2;\,2\cdot 1;\,2\cdot 2)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \overset{\to}{AB}=(4;\,2;\,4) \end{array}}$