Question

Quem me ajuda !? Dado que n.n!=(n+1)!-n!,mostre que 1.1!+2.2!+3.3!+....+n.n!=(n+1)!-n! HELP!!

Answer 1

Encontrar uma fórmula fechada para a seguinte soma, em função de  n:

     $\mathsf{S(n)=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\ldots+n\cdot n!}\\\\ \mathsf{S(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot k!}\\\\\\ \mathsf{S(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^n (k+1-1)\cdot k!}\\\\\\ \mathsf{S(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \big[(k+1)\cdot k!-1\cdot k!\big]}\\\\\\ \mathsf{S(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \big[(k+1)!-k!\big]}$


A soma acima é uma soma telescópica, pois estamos somando uma diferença entre dois termos consecutivos de uma sequência conhecida, que aqui é o fatorial.


Podemos tirar proveito desse fato, observando o seguinte:

     $\mathsf{S(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^n (k+1)!-\sum_{k=1}^n k!}$


Façamos uma translação de índices no primeiro somatório:

     $\mathsf{k+1=j\quad\Longrightarrow\quad k=j-1}$


     •  Quando  k = 1,  temos que  j = 1 + 1 = 2;

     •  Quando  k = n,  temos que  j = n + 1.


E ficamos com

     $\mathsf{S(n)=\displaystyle\sum_{j=2}^{n+1} j!-\sum_{k=1}^n k!}\\\\\\ \mathsf{S(n)=\displaystyle (n+1)!+\sum_{j=2}^{n} j!-\left[1!+\sum_{k=2}^n k!\right]}\\\\\\ \mathsf{S(n)=\displaystyle (n+1)!+\sum_{j=2}^{n} j!-1!-\sum_{k=2}^n k!}\\\\\\ \mathsf{S(n)=\displaystyle (n+1)!-1!+\sum_{j=2}^{n} j!-\sum_{k=2}^n k!}$


Observe que os dois somatórios em  j  e em  k  são exatamente os mesmos, só diferem pelo nome do indexador:

     $\mathsf{S(n)=\displaystyle (n+1)!-1!+\sum_{k=2}^{n} k!-\sum_{k=2}^n k!}$

     $\mathsf{S(n)=\displaystyle (n+1)!-1!\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


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Bons estudos! :-)