quem e quando foi criada a sequencia de fibonacci?
Soluções para a tarefa
Resposta:
Apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci de Leornardo Fibonacci
Explicação passo-a-passo:
Resposta:
No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci (1202) de Leonardo Fibonacci,[6] embora ela já tivesse sido descrita por gregos e indianos.[7][8][9] Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos. Os números descrevem o número de casais na população de coelhos depois de n meses se for suposto que:
Ilustração representativa da série de Fibonacci, demonstrando o crescimento populacional de coelhos (carregando ovos de páscoa).
no primeiro mês nasce apenas um casal,
casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,
não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo,
todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
os coelhos nunca morrem.
Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal que g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.
Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1) = 1 e F(2) = 3 é conhecida como a sequência de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as n-ésimas potências:
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)^{n}={\frac {1}{2}}\left(L(n)+F(n){\sqrt {5}}\right).}
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)^{n}={\frac {1}{2}}\left(L(n)+F(n){\sqrt {5}}\right).}
Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmulas:
{\displaystyle L(n)=F(n-1)+F(n-2).,}
{\displaystyle L(n)=F(n-1)+F(n-2).,}
{\displaystyle F(2n)=F(n)L(n),}
{\displaystyle F(2n)=F(n)L(n),}
{\displaystyle \prod _{p=1}^{n}L_{2^{p}}=F_{2^{n+1}}}
{\displaystyle \prod _{p=1}^{n}L_{2^{p}}=F_{2^{n+1}}}
e
{\displaystyle L(n)=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.}
{\displaystyle L(n)=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.}
Observando-se que {\displaystyle (1+{\sqrt {5}})(1-{\sqrt {5}})=-4,}{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})(1-{\sqrt {5}})=-4,} logo {\displaystyle (1-{\sqrt {5}})={\frac {-4}{1+{\sqrt {5}}}}}{\displaystyle (1-{\sqrt {5}})={\frac {-4}{1+{\sqrt {5}}}}} e que {\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}=1+\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right),}{\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}=1+\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right),} pois é a solução de {\displaystyle x^{2}=1+x}{\displaystyle x^{2}=1+x} e substituindo isso em {\displaystyle L(n),}{\displaystyle L(n),} obtemos a fórmula apenas em termos da raiz positiva:
{\displaystyle L(n)={\frac {\left({1+\left({\frac {1+{\sqrt {5}})}{2}}\right)}\right)^{n}+(-1)^{n}}{{({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}})^{n}}}}
{\displaystyle L(n)={\frac {\left({1+\left({\frac {1+{\sqrt {5}})}{2}}\right)}\right)^{n}+(-1)^{n}}{{({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}})^{n}}}}
Com esta fórmula podemos montar a sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1, como mostra a figura abaixo:
Uma grade preenchida com quadrados cujos lados são números de Fibonacci, formando sucessivamente retângulos cada vez maiores e tendentes à razão áurea
Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos.
F(6) = (F(6 - 1)) + (F(6 - 2)) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) )
F(5) = (F(5 - 1)) + (F(5 - 2)) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) )
F(4) = (F(4 - 1)) + (F(4 - 2) ) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) )
F(3) = (F(3 - 1)) + (F(3 - 2))= 2 e 1 → 2
F(2) = (F(2 - 1)) + (F(2 - 2)) = 1 e 0 → 1
e a primeira posição 1.
Note que a sequência de Fibonacci esta no resultado de cada posição: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...