Question

QUEM AJUDAR VAI PRO CÉU :D
A expressão seguinte relaciona o valor v, em reais, que um objeto terá t anos após sua compra. V(t) = 200. 24t/3. Qual é o tempo necessário para que o valor do objeto seja de R$ 2.000,00? (Use log 2 = 0,3).

A) 2 anos.
B) 2,5 anos.
C) 4 anos.
D) 4,5 anos.

Answer 1

Resposta:

O objeto levará 2,5 anos para que seu valor seja igual a R$ 2.000,00.

Espero ter ajudado :)

Explicação passo-a-passo:

• Sabemos que o valor desse objeto após determinado tempo (daí o "valor em função do tempo" ou "V(t)") deverá ser igual a 2000;

2000 = 200·$2^{4t/3}$

200·$2^{4t/3}$ = 2000

• Primeiro vamos isolar a incógnita;

$2^{4t/3}$ = $\frac{2000}{200}$

$2^{4t/3}$ = 10

• Vamos aplicar o logaritmo para transformar a parte que possuí a incógnita (t), em algo diferente de um expoente;

*Basta usar essa definição: $a^{x} = b$ ⇔ $log_{a} b = x$:

$2^{4t/3}$ = 10 ⇔ $log_{2}10=4t/3$

$log_{2}10=4t/3$

*Aproveitando a definição, vamos verificar a "Condição de Existência", que aponta 3 critérios:

1. "a > 0", temos que a é 2 (ok);

2. "a ≠ 1", temos que 2 ≠ 1 (ok);

3. "b > 0", temos que 10 > 0 (ok).

Bem, é um logaritmo válido!

• Agora vamos simplificar o logaritmo usando  uma propriedade chamada "Mudança de Base", que é dada pela definição:

$log_{a}b = \frac{log(b)}{log(a)}$

Mãos na massa:

$log_{2}10=\frac{log(10)}{log(2)}$

Nossa equação fica assim agora:

$\frac{4}{3}t= \frac{log(10)}{log(2)}$

*Como os logaritmos estão em base 10 (quando ela não aparece), podem ser resolvidos por calculadoras cientificas.

• Vamos agora resolver esses logaritmos (a questão diz que devemos atribuir o log(2) = 0,3):

$\frac{4}{3}t= \frac{1}{0,3}$

• Resolvemos agora, a equação do 1º grau resultante:

$t = \frac{\frac{1}{0,3}}{\frac{4}{3} }$

$t$ = $\frac{1}{0,3}$ · $\frac{3}{4}$

$t = \frac{3}{1,2}$

t = 2,5 anos