Question

Que fração (irredutível) do hexágono representa a parte pintada de cinza?

Answer 1

Note que podemos localizar um triângulo nos extremos do hexágono com base igual a 8 e altura igual a 4 (comprimento total 16, menos 8 da base de baixo e dividido por 2 pela simetria). Podemos então separar este triângulo isósceles em dois triângulos retângulos e calcular sua hipotenusa através do teorema de Pitágoras:
x² = 4² + 4²
x² = 32
x =  4√2


Como esta hipotenusa é paralela ao lado do quadrado branco, podemos concluir que o quadrado tem lado igual a 4√2, então sua área é (4√2)² = 32.


A área total do hexágono (incluindo o quadrado branco) pode ser expressa pelas áreas dos dois triângulos extremos e do quadrado central:
Hex = 8*4/2 + 8*4/2 + 8*8
Hex = 96


Para encontrar a fração da área cinza, basta dividir a área cinza pela área total. Como o quadrado branco tem área 32, o resto da figura (cinza) tem área 64:
64/96 = 2/3

Answer 2

Traçando mais algumas linhas na figura, podemos observar que o hexágono é formado por 12 triângulos congruentes, e a parte cinza é formada por 8 desses triângulos.
Assim,a parte cinza representa 8/12 do hexágono,ou, na forma irredutível da fração, 2/3