Question

Quatro números estão em PA. A sua soma é 24 e a soma de seus quadrados é 164 calcule a PA.

Answer 1

a1 + a2 + a3 + a4 = 24
a1 + (a1 + r) + ( a1 + 2r) + ( a1 + 3r ) = 24
4a1 + 6r = 24
2a1 + 3r = 12 ***  ou    a1 =( 12 - 3r )/2*********

fazendo  
a1 = a1 ou  ( 12 - 3r)/2
a2 = a1 + r  ou ( 12 - 3r )/2 + r/1 = (12 - 3r + 2r )/2= (12 - r )/2***
a3 = a1  + 2r =  ( 12 - 3r)/2 + 2r/1 = 12 - 3r + 4r  =( 12 + r )2***
a4 = a1 + 3r =   ( 12 - 3r)/2 + 3r)/1 = ( 12 - 3r + 6r )/2 = 12 + 3r)/2

[( 12 - 3r)/2 }² + [ ( 12 - r)/2)]² + [ ( 12 + r)/2]² + [ ( 12 +3r)/2]² = 164
[ (144 - 72r + 9r²) /4 ] + [ (144 - 24r + r²)/4 ] + [ ( 144 + 24r + r² )/4] +                [ ( 144 + 72r + 9r² )/2 ] = 164/1
(20r² + 576 )/4  = 164/1
20r² + 576 = 656
20r² = 656 - 576 
20r² = 80
r² = 80/20 = 4
r = +-2 *****
PARA r = 2 **
a1 =[ 12 - 3(2)]/2 = [ 12 - 6]/2 = 6/2 = 3 ***
a2 = ( 12 - r)/2 = ( 12 - 2)/2 =  10/2 = 5 ***
a3 = ( 12 + r)/2 = ( 12 + 2 )/2 =14/2 = 7 ****
a4 = ( 12 + 3r)/2 = ( 12 + 2*3 )/2 = ( 12 + 6)/2 = 9 ****

Para r = -2
a1 =[ 12 - 3(-2)/2]  = ( 12 + 6 )/2 = 18/2 = 9
PA { 9,7,5,3 }