Física, perguntado por jujuk1lopes, 8 meses atrás

Quatro cargas idênticas Q são colocadas nos vértices de
um quadrado de lado igual a L. (a) Faça um diagrama do
corpo livre mostrando todas as forças que atuam sobre uma
das cargas. (b) Determine o módulo, a direção e o sentido
da força resultante exercida pelas outras três cargas sobre a
carga considerada.

Soluções para a tarefa

Respondido por Lionelson

O módulo da força resultante é

$\Large\displaystyle\boxed{\text{$\begin{aligned}F_r &= k\frac{Q^2}{L^2}\left(\frac{2\sqrt{2}+1}{2}\right)\end{aligned}$}}$

Precisamos aplicar a lei de Coulumb para cada interação das cargas, como todas as cargas são idênticas temos que a força sempre será de repulsão entre elas, pela lei de Coulumb temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F = k\frac{|Q_1||Q_2|}{d^2}\end{aligned}$}$

Como as cargas são iguais podemos substituir por:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F = k\frac{Q^2}{d^2}\end{aligned}$}$

Irei utilizar a carga numerada 1 (vide esquema em anexo) para fazer o diagrama de corpo livre e determinar as resultantes.

Sobre a carga 1 temos 3 forças atuando sobre ela, a força de repulsão entre 1 e 2; 1 e 3; 1 e 4.

Então o módulo das forças serão:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F_{1,2} = k\frac{Q^2}{d^2_{1,2}} \quad F_{1,3} = k\frac{Q^2}{d^2_{1,3}} \quad F_{1,4} = k\frac{Q^2}{d^2_{1,4}}\end{aligned}$}$

Para 2 e 4 temos que a distância será o lado do quadrado, enquanto para 3 temos que a distância será a diagonal do quadrado, logo L√2, portanto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F_{1,2} = k\frac{Q^2}{L^2} \quad F_{1,3} = k\frac{Q^2}{(L\sqrt{2})^2} \quad F_{1,4} = k\frac{Q^2}{L^2}\end{aligned}$}$

Agora para somar as forças teriamos que decompor a força que está na diagonal, então somar com as componentes e então achar o módulo novamente, aqui como se trata de um quadrado podemos apenas somar as componentes x e y, e então somar ao vetor força 1,3.

Por via das dúvidas irei mostrar que as duas somas funcionam.

Primeiro vamos fazer o método mais rápido, que é somar as componentes e achar a resultante, aqui como um quadrado, a resultante será F√2, portanto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F_{1,2} + F_{1,4} = k\frac{Q^2}{L^2}\sqrt{2}\end{aligned}$}$

E esse resultado podemos somar a F1,3, assim chegando na resultante de fato:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F_r &= k\frac{Q^2}{2L^2}+ k\frac{Q^2}{L^2}\sqrt{2}\\ \\F_r &= k\frac{Q^2}{L^2}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)\\ \\F_r &= k\frac{Q^2}{L^2}\left(\frac{2\sqrt{2}+1}{2}\right)\\ \\\end{aligned}$}$

Logo, o módulo da força resultante é dado por:

$\Large\displaystyle\boxed{\text{$\begin{aligned}F_r &= k\frac{Q^2}{L^2}\left(\frac{2\sqrt{2}+1}{2}\right)\end{aligned}$}}$

Agora dividindo as componentes e somando, e então fazendo o resultante denovo:

Eixo x:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F_{r,x} &= k\frac{Q^2}{L^2} + k\frac{Q^2}{2L^2}\cos \theta\\ \\F_{r,x} &= k\frac{Q^2}{L^2}\left(1+\frac{1}{2}\cos \theta\right)\\ \\F_{r,x} &= k\frac{Q^2}{L^2}\Big(1+\frac{1}{2}\underbrace{\cos \theta}_{=\frac{\sqrt{2}}{2}}\Big)\\ \\F_{r,x} &= k\frac{Q^2}{L^2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\\ \\\end{aligned}$}$

Eixo y:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F_{r,y} &= k\frac{Q^2}{L^2} + k\frac{Q^2}{2L^2}\sin \theta\\ \\F_{r,y} &= k\frac{Q^2}{L^2}\left(1+\frac{1}{2}\sin \theta\right)\\ \\F_{r,y} &= k\frac{Q^2}{L^2}\Big(1+\frac{1}{2}\underbrace{\sin \theta}_{=\frac{\sqrt{2}}{2}}\Big)\\ \\F_{r,y} &= k\frac{Q^2}{L^2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\\ \\\end{aligned}$}$

Para achar a resultante finalmente:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}F_r &= \sqrt{F_{r,x}^2 + F_{r,y}^2}\\ \\ \\F_r &= \sqrt{\left(k\frac{Q^2}{L^2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right)^2 + \left(k\frac{Q^2}{L^2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right)^2}\\ \\ \\F_r &= \sqrt{2\left(k\frac{Q^2}{L^2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right)^2 }\\ \\ \\F_r &=k\frac{Q^2}{L^2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\sqrt{2}\\ \\ \\F_r &=k\frac{Q^2}{L^2}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)\\ \\ \\\end{aligned}$}$