Question

Quatro amigos matemáticos - Aníbal, Bruno, Carlos e Daniel - encontraram-se para um almoço.

Aníbal pensa em um enigma e diz a todos: "Pensei em dois números naturais, maiores que 1. A soma do números é ..." - no entanto, Aníbal não termina a frase em voz alta. Ele sussura a soma apenas ao ouvido de Bruno.

Aníbal completa em voz alta diz a todos depois: "O produto daqueles números é ..." - no entanto, novamente, Aníbal não termina a frase em voz alta. Ele sussura o produto apenas ao ouvido de Carlos.

Então uma conversação acontece:


BRUNO: Caro Carlos, eu não acho que nós dois sabemos quais são os números!

CARLOS: Aha! Entendi! Agora eu sei quais são os números! Sim!

BRUNO: Ahhh! Agora também eu sei quais são os números!

DANIEL: Agora eu sei quais são os números!
Quais são os numeros ?

Answer 1

Eis as possibilidades: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37... 

Vamos começar então pelo número 11. Os números inteiros maiores que 1 que somados dão como resultado 11 são: 

2 + 9 
3 + 8 
4 + 7 
5 + 6 

O produto desses números é: 

2 x 9 = 18 
3 x 8 = 24 
4 x 7 = 28 
5 x 6 = 30 

Se Bruno recebeu o número 11, então Carlos pode ter recebido os números 18, 24, 28 ou 30. 

Quais são os números que multiplicados dão como resultado os possíveis números de Carlos? 

2 x 9 = 18 
3 x 6 = 18 

2 x 12 = 24 
3 x 8 = 24 
4 x 6 = 24 

2 x 14 = 28 
4 x 7 = 28 

2 x 15 = 30 
3 x 10 = 30 
5 x 6 = 30 

Agora vamos ao que Bruno diz: Carlos, eu não acho que saibamos quais são os números! 
Bruno disse isso pois o número que ele tinha, não podia ser escrito pela soma de dois números primos. Como pela pista de Bruno, Carlos logo em seguida descobre a soma, então os possíveis produtos seriam: 18, 24 e 28. Por que não o 30? Porque o 30, há duas possibilidades de que isso aconteça. São elas: 2 e 15 e 5 e 6. 

2 + 15 = 17 
5 + 6 = 11 

Logo Carlos não saberia se o número que Bruno tinha era 11 ou 17. 

Mas para os outros produtos, só existe uma possibilidade: 

2 x 9 (Soma = 11) 
3 x 8 (Soma = 11) 
4 x 7 (Soma = 11). 

Como Carlos sabe o produto, então ele adivinharia o número de Bruno, entretanto Bruno não iria adivinhar qual o número que Carlos tinha, pelo fato de ter 3 possibilidades. Ou Carlos estava com o 18, ou com o 24 ou com o 28. Com isso, podemos afirmar que o número que Bruno possui certamente não é 11. 

Vamos estudar agora o número 17. Os números inteiros maiores que 1 que somados dão como resultado 17 são: 

2 + 15 = 17 
3 + 14 = 17 
4 + 13 = 17 
5 + 12 = 17 
6 + 11 = 17 
7 + 10 = 17 
8 + 9 = 17 

O produto desses números é: 

2 x 15 = 30 
3 x 14 = 42 
4 x 13 = 52 
5 x 12 = 60 
6 x 11 = 66 
7 x 10 = 70 
8 x 9 = 72 

Se Bruno recebeu o número 17, então Carlos pode ter recebido os números 30, 42, 52, 60, 66, 70, 72. 

Quais são os números que multiplicados dão como resultado os possíveis números de Carlos? 

2 x 15 = 30 
3 x 10 = 30 
5 x 6 = 30 

2 x 21 = 42 
3 x 14 = 42 
6 x 7 = 42 

2 x 26 = 52 
4 x 13 = 52 

2 x 30 = 60 
3 x 20 = 60 
5 x 12 = 60 
6 x 10 = 60 

2 x 33 = 66 
3 x 22 = 66 
6 x 11 = 66 

2 x 35 = 70 
5 x 14 = 70 
7 x 10 = 70 

2 x 36 = 72 
3 x 24 = 72 
4 x 18 = 72 
6 x 12 = 72 
8 x 9 = 72 

Agora vamos ao que Bruno diz: Carlos, eu não acho que saibamos quais são os números! 
Como pela pista de Bruno, Carlos logo em seguida descobre a soma, então o possível produto seria apenas o 52. Por que os outros não? Porque para os outros, há mais de uma possibilidade para que isso aconteça. São elas: 

Para o produto 30 
2 + 15 = 17 
5 + 6 = 11 

Para o produto 42 
2 + 21 = 23 
3 + 14 = 17 

Para o produto 60 
3 + 20 = 23 
5 + 12 = 17 

Para o produto 66 
2 + 33 = 35 
6 + 11 = 17 

Para o produto 70 
2 + 35 = 37 
7 + 10 = 17 

Para o produto 72 
3 + 24 = 27 
8 + 9 = 17 

Logo Carlos não saberia o número de Bruno, ele poderia ter o 11, ou o 17, ou 23, ou 27, ou 35 ou 37. 

Mas para o produto 52, só existe uma possibilidade: 

4 + 13 = 17 

Como Carlos sabe o produto, então ele adivinharia que o número de Bruno é 17, e Bruno também iria adivinhar que Carlos possuía o número 52, já que existe apenas uma única possibilidade de que a soma de seus dois números (17) seja um número tal que não possa ser escrito pela soma de dois números primos. 

Com isso Daniel também descobre que Bruno tem o número 17 e Carlos o 52, então os números procurados são 4 e 13, já que: 

4 + 13 = 17 
4 x 13 = 52