Question

quantos triângulos isósceles de lados inteiros possuem perímetro igual 2007 cm?

Answer 1

Olá!

Um triângulo isósceles é todo aquele que tem dois lados com mesma medida! Podemos dizer, então, que dois lados tem uma medida x e o terceiro lado tem uma medida y. Se nossos triângulos tem perímetro igual à 2007 cm, podemos escrever que:

$x+x+y=2007$
$2x+y=2007$
$y=2007-2x$

Obs.: Lembre-se que o perímetro corresponde à soma dos lados do triângulo.

Além disso, as medidas dos lados do nosso triângulo tem que respeitar alguns limites. Primeiro, devemos ter que todos os lados devem ser maior do que zero. Em particular, para o lado de medida y, temos que:

$y>0$

Podemos utilizar a relação anterior, onde isolamos o valor de y em termos do valor de x, para escrever:

$y>0$
$2007-2x>0$
$2007>2x$
$2x<2007$
$x<\frac{2007}{2}$
$x<1003,5$

A segunda restrição para as medidas é menos óbvia, mas é fácil de entender. Devemos ter que a soma dos lados de medida x deve ser maior do que o lado de medida y. Para entender essa relação, basta você ver que se a soma dos lados de medida x fosse menor do que y, não seríamos capaz de unir os lados para formar um triângulo. Com isso, podemos escrever que:

$y>2x$

Novamente vamos utilizar a relação na qual escrevemos y em função de x:

$2x>y$
$2x>2007-2x$
$4x>2007$
$x>\frac{2007}{4}$
$x>501,75$

Resumindo então, temos as seguintes restrições para nossos triângulos:

$501,75<x<1003,5$

Ou seja, o valor de x deve estar entre 501,75 cm e 1003,5 cm. Como queremos que x (e também y) seja um número inteiro, x pode ter valores 502, 503, ... , 1003. Na verdade é fácil ver que x pode assumir 502 valores diferentes (1003-501=502).

Portanto, concluímos que existem 502 triângulos isósceles com lados inteiros e perímetro 2007 cm.

Obs.: Note que o fato de x ser um inteiro, também garante que y seja inteiro. Pois se somarmos os lados com valor x, teremos um valor inteiro. Para que o perímetro do triângulo seja 2007 cm, o valor de y também deve ser inteiro.