Question

quantos triângulos diferentes podemos traçar dispondo de 15 pontos num plano,6 dos quais estão alinhados?

Answer 1

Podemos traçar 435 triângulos.

Temos três possibilidades:

• Um vértice está sobre a reta;
• Dois vértices estão sobre a reta;
• Três vértices não estão sobre a reta.

1ª possibilidade

Precisamos escolher 1 ponto entre os 6 da reta e 2 pontos entre os 9 que não estão sobre a reta.

Utilizando a Combinação, temos:

$C(6,1).C(9,2)=\frac{6!}{5!1!}.\frac{9!}{2!7!}$

C(6,1).C(9,2) = 6.36

C(6,1).C(9,2) = 216 triângulos.

2ª possibilidade

Precisamos escolher 2 pontos entre os 6 da reta e 1 ponto entre os 9 que não estão sobre a reta.

Portanto, podemos formar:

$C(6,2).C(9,1)=\frac{6!}{2!4!}.\frac{9!}{1!8!}$

C(6,2).C(9,1) = 15.9

C(6,2).C(9,1) = 135 triângulos.

3ª possibilidade

Precisamos escolher 3 pontos entre os 9 que não estão sobre a reta.

Logo, existem:

$C(9,3)=\frac{9!}{3!6!}$

C(9,3) = 84 triângulos.

Assim, o total de triângulos é igual a 216 + 135 + 84 = 435.