Question

Quantos triângulos, com vértices em duas retas paralelas r e s, podem ser formados

com 7 pontos distintos numa reta e 5 pontos também distintos na outra?​

Answer 1

Resposta:

175

Explicação passo-a-passo:

Sejam r e s essas retas, r com 7 pontos e s com 5 pontos. Para formar um triângulo precisamos de 3 desses pontos. Note que se os 3 pontos estiverem na mesma reta não teremos triângulo, mas reta.

Podemos formar dois tipos de triângulos com esses pontos:

1°) Os triângulos formados com 2 pontos de r e 1 ponto de s:

Temos 7 pontos de r para escolher 2 pontos (isso é uma combinação de 7 pontos, agrupados 2 a 2):

$C_{7,2} = \frac{7!}{2! \cdot (7 - 2)!} = \frac{7!}{2 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 5!} = \frac{42}{2} = 21$

Temos 5 pontos de s para escolher 1:

$C_{5,1} = 5$

Pelo Princípio Fundamental de Contagem (PFC), o total de triângulos desse tipo é:

21 x 5 = 105

2°) Os triângulos formados com 1 pontos de r e 2 ponto de s:

Temos 7 pontos de r para escolher 1:

$C_{7,1} = 7$

Temos 5 pontos de s para escolher 2 pontos:

$C_{5,2} = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = \frac{5!}{2 \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$

Pelo Princípio Fundamental de Contagem (PFC), o total de triângulos desse tipo é:

7 x 10 = 70

Assim, o número total de triângulos que podem ser formados é:

105 + 70 = 175