Question

Quantos termos tem uma pg. Sabendo que a1 =3 q =2 e a soma é 765

Answer 1

Seja:
$\boxed{S_n=\sum_{i=1}^{n}q^i}$
a soma dos n primeiros termos de uma P.G.
podemos encontrar uma fórmula para descobrir qual a soma de tais n primeiros termos fazendo o seguinte:
$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}q^i=q+q^2+q^3+...+q^n\\\\qS_{n}=q\sum_{i=1}^{n}=q^2+q^3+q^4+...+q^{n+1}\\\\(1-q)S_{n}=q-q^{n+1}\implies \boxed{S_n=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}}$

para o caso atual q = 2 e a1=3, o que nos leva a
$\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{2}2^{n}=\sum_{i=1}^{n}3\cdot 2^{n-1}=3+6+...+3\cdot 2^{n-1}=\frac{3\left(1- 2^{n}\right)}{1-2}$
ou seja
$\displaystyle i)~~~~\frac{3\left(1- 2^{n}\right)}{1-2}=765\\\\ii)~~~3(1-2^n)=-765\\\\iii)~~1-2^n=-255\\\\iv)~~-2^n=-256\\\\v)~~~2^n=256\\\\vi)~~\log_22^n=\log_2256\\\\vii)~~n=\log_2256\\\\viii)~n=\frac{\ln256}{\ln 2}\\\\ix)~~n=\frac{\ln 2^8}{\ln 2}=8\frac{\ln 2}{\ln 2}\\\\x)~~n=8$
ou seja:
$\displaystyle S_8=3\frac{1-2^8}{-1}=3\frac{1-256}{-1}=3(255)=765$
Essa P.G. possui 8 termos.

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