Question

Quantos termos tem uma p.a. onde a1=2 a2=13 e an=167?

Answer 1

Se o primeiro termo é 2 e o segundo é 13, significa que a razão da PA é 11, então precisamos saber quantas vezes é preciso somar 11 ao numero anterior para chegar em 167.
Para isso podemos fazer da seguinte maneira:
Concorda comigo, que se a PA começasse do 0, os numeros seguintes seriam todos múltiplos de 11? (Observe: 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88...)
Logo, seria a mesma coisa que a nossa PA original, porém cada termo da PA que criamos tem 2 a menos que a PA original (Observe a PA Original: 2, 13, 24, 35, 46.. e compare com a que escrevemos acima, para um melhor entendimento)
Então, quando na PA original estivéssemos em 167, na PA nova nós teríamos 165, certo?
Logo, só é preciso fazer a divisão de 165 por 11 para saber quantas vezes ele deve ser somado a 2 para chegar a 167.
Falando em forma de número você teria que fazer da seguinte maneira:
PA ORIGINAL: {2,13, 24, 35, 46...145,156,167}
PA NOVA      : {0,11, 22, 33,44...143,154,165}
165/11 = 15, Logo sabemos que a PA tem 15 termos + o primeiro termo (2), ou seja a resposta é: 16 termos.

Answer 2

PA => $a_{n} = a_{1} + (n-1) . r$
Como temos que an =167, concluímos que é o ultimo termo.
E como temos a1 = 2 e a2 =13 então concluímos que r = 11
substituindo na fórmula o a1, r e an obtemos:
167 = 2 + (n-1) 11
165 = 11n -11 (distributiva)
165 + 11 = 11n
176 = 11n
n = 16
Então temos 16 termos.