Question

Quantos termos tem a pg (2 elevado a 31, 2 elevado a 35,... 2 elevado a 111)?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luamendiola, que a resolução é simples.
Pede-se o número de termos da seguinte PG:

(2³¹; 2³⁵; .....2¹¹¹)

i) Veja que a razão (q) de uma PG é constante e é dada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Assim, a PG da sua questão terá a razão (q) igual a:

q = 2³⁵ / 2³¹ --- veja: divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes.Logo:

q = 2³⁵⁻³¹
q = 2⁴ <----- Esta é a razão da PG da sua questão.

ii) Agora vamos para a fórmula do termo geral de uma PG que é dada assim:

an = a₁*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima "an" é o último termo da PG, que já vimos que é 2¹¹¹; por sua vez "a₁" é o primeiro termo, que é a³¹; e finalmente "q" é a razão da PG, que já vimos que é igual a 2⁴ . Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

2¹¹¹ = 2³¹*(2⁴)ⁿ⁻¹ ----- desenvolvendo, teremos:
2¹¹¹ = 2³¹ * 2⁴ⁿ⁻⁴ ---- note que no 2º membro temos produto de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Então ficaremos assim:

2¹¹¹ = 2³¹⁺⁴ⁿ⁻⁴ ----- efetuando a soma dos expoentes no 2º membro, temos:
2¹¹¹ = 2³¹⁻⁴⁺⁴ⁿ ----- continuando, temos:
2¹¹¹ = 2²⁷⁺⁴ⁿ ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:

111 = 27 + 4n ----- passando "27" para o 1º membro, temos:
111 - 27 = 4n
84 = 4n ---- vamos apenas inverter,ficando:
4n = 84
n = 84/4
n = 21 <--- Esta é a resposta. Ou seja, a PG da sua questão tem 21 termos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.