Question

Quantos termos tem a P.G (1/2,3/4,...81/32) ?

Answer 1

Vamos lá. 

Pede-se o número de termos da PG (1/2 ; 3/4; ..............81/32)

Veja que a razão dessa PG é 3/2, porque: 

(3/4) / (1/2) = (3/4)*(2/1) = 6/4 = 3/2 

Observe que o termo geral de uma PG é dado por: 

an = a1.q^(n-1), em que "an" é o termo geral (no caso será 81/32), "a1" é o primeiro termo (no caso é 1/2), "q" é a razão (que é 3/2) e "n" é o número de termos da PG. 
Assim, fazendo as devidas substituipões, temos: 

81/32 = (1/2)*(3/2)^(n-1) , ou ,invertendo: 
(1/2)*(3/2)^(n-1) = 81/32 

Agora veja que: 

1/2 = 0,5
3/2 = 1,5
81/32 = 2,53125

Então, a nossa expressão acima ficará: 

0,5*(1,5)^(n-1) = 2,53125
(1,5)^(n-1) = 2,53125/0,5
(1,5)^(n-1) = 5,0625 ------ aplicando logaritmo a ambos os membros, ficamos com:

log(1,5)^(n-1) = log5,0625 ---- veja que loga^m = mloga. Assim: 
(n-1)log1,5 = log5,0625

Agora veja que: 
log1,5 = 0,17609
log5,0625 = 0,70437

Então, fazendo as devidas substituições na expressão acima, ficamos com: 

(n-1)*0,17609 = 0,70437
(n-1) = 0,70437/0,17609
n - 1 = 4 
n = 4 + 1 
n = 5 <------ Pronto. Essa é a resposta. A PG tem 5 termos.