Quantos termos tem a P.A(5,8..., 92)?
Soluções para a tarefa
Esta é uma progressão aritmética de razão 3,pois a diferença do 2 termo menos o primeiro é 8-5=3.
Sabemos a razão é o 1 termo da progressão,por isso,basta usar a fórmula da progressão Un=a+(n-1)*r
Em que a= primeiro termo
r= razão
Substituindo na fórmula,vem:
Un=5+(n-1)*3
Un=5+3n-3
Un=3n-2
Já temos o termo geral ou lei da progressão, por isso,o que vamos fazer agora é determinar a ordem do último termo da P.A que é 92.
Un=um termo de ordem n,neste caso 92,de ordem n que se quer descobrir.
3n-2=92
3n=92-2
3n=90
n=90/3
n=30
Por isso, o termo de ordem 30 é 92. O que se conclui que existem 30 termos.
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (5, 8, ..., 92), tem-se que:
a)trata-se de uma progressão aritmética (PA) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:5
c)último termo (an): 92 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)
d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais.)
e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 8 - 5 ⇒
r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
92 = 5 + (n - 1) . (3) ⇒
92 = 5 + 3n - 3 ⇒
92 = 2 + 3n ⇒
92 - 2 = 3n ⇒
90 = 3n ⇒
90/3 = n ⇒
30 = n ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
n = 30
Resposta: O número de termos da P.A.(5, 8, ..., 92) é 30.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo n = 30 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
92 = a₁ + (30 - 1) . (3) ⇒
92 = a₁ + (29) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)
92 = a₁ + 87 ⇒
92 - 87 = a₁ ⇒
5 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 5 (Provado que n = 30.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
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