Question

Quantos termos racionais tem o desenvolvimento de $( \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} )^1^0^0$

Answer 1

O cálculo de um termo qualquer de um binômio é dado pela formula:

$T_{p+1} = (a+b)^n = Cn,p*a^n^-^pb^p$

Onde

a = √2

b = ∛3

Lembrando que:

$Cn,p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Nosso "n" = 100
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Vamos substituir esses valores em nosso problema...


Para calcularmos um termo racional desse problema, teremos que por uma condição.


$\\ T_{p+1} = \frac{100!}{p!(100-p)!} *( \sqrt{2} )^n^-^p( \sqrt[3]{3} )^p$

Reescrevendo em modo de fração a potência das raízes e n = 100"

$\\ T_{p+1} = \frac{100!}{p!(100-p)!} *( 2^ \frac{1}{2} )^1^0^0^-^p( 3^ \frac{1}{3} )^p \\ \\ \\ T_{p+1} = \frac{100!}{p!(100-p)!} *( 2 )^ \frac{100-p}{2} ( 3 )^ \frac{p}{3}$

Agora note:

Para que "2 e 3" sejam frações racionais.


100 - p ⇔ Tem que ser múltiplo de "2"

p ⇔ Deve ser múltiplo de "3"
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Como "n" = 100

$p \ \textless \ 100$

Então, p é um número múltiplo de "3" e n-p de "2".

Sabemos que o conjunto de p é:

$p = ( 3, 6, 9, 12, 15 . . . 99)$

E que:

$n - p = (2, 4, 6, 8 , 10, 12 ...98)$

Se notarmos, 

Os valores de "p'' seriam a sequência aritmética de uma PA, cuja razão é 6.

Valores possíveis de p:

Solução:

$S = (0, 6, 12, 18... 96)$

Logo,

p = 0
p = 6
p = 12
p = 18
p = 24
p = 30
p = 36
p = 42 
p = 48
p = 54
p = 60
p = 66
p = 72
p = 78
p = 84
p = 90
p =96
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Temos 17 possibilidades para se obter termos racionais.