Question

Quantos termos em a PG (3, 6, 12, ...) em que sua soma seja 765?

Answer 1

Como o exercício menciona a quantidade de termos, podemos afirmar que a PG possui uma quantidade "n" finita de termos e, portanto, podemos utilizar a formula da soma dos "n" termos da PG finita.

$\boxed{\sf S_n~=~\dfrac{a_1\cdot \left(q^n-1\right)}{q-1}}$

Perceba que ainda falta calcularmos a razão "q", dada pelo quociente entre um termo ($\sf a_n$) e seu antecessor ($\sf a_{n-1}$).

$\boxed{\sf q~=~\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}$

Usando os termos a₁ e a₂, temos:

$\sf r~=~\dfrac{a_2}{a_1}~=~\dfrac{6}{3}~~\Longrightarrow~\boxed{\sf q~=~2}$

Agora sim, vamos substituir os valores na equação mostrada para soma dos "n" termos da PG:

$\sf 765~=~\dfrac{3\cdot \left(2^n-1\right)}{2-1}\\\\\\\sf 765~=~\dfrac{3\cdot \left(2^n-1\right)}{1}\\\\\\\dfrac{765}{3}~=~2^n-1\\\\\\255~=~2^n-1\\\\\\2^n~=~255+1\\\\\\2^n~=~256\\\\\\2^n~=~2^8\\\\\\\not\!2^n~=~\not\!2^8\\\\\\\boxed{\sf n~=~8~termos}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$