Question

Quantos termos do P.A(3,19,35,...)Devem ser somados para que a soma seja igual a 472?

Answer 1

(i) Observando a PA dada é fácil ver que $a_1=3$ e $r=16$. Existem duas fórmulas para se calcular a soma dos $n$ primeiros termos de uma PA (que chamarei de $S_n$):

$1- S_n=n.a_1+\dfrac{r.n(n-1)}{2}\\ \\ 2- S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Aqui vamos usar a 1, pois já temos a maioria dos dados necessários.

(ii) A questão pede para descobrirmos o valor de $n$, sabendo que $S_n=472$. Aplicando todos os valores que temos até agora na fórmula encontramos o seguinte:

$472=3n + \dfrac{16n(n-1)}{2}\\ \\ 472=3n+8n^2-8n\\ 8n^2-5n-472=0\\ \\ \Delta=(-5)^2-4.8.(-472) = 25+15104 \\ \Delta= 15129\\ \\ n=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{15129}}{2.8}=\dfrac{5\pm123}{16}$

Sabemos que o número de termos de uma PA não pode ser negativo, então vamos considerar apenas o sinal positivo na expressão acima:

$n=\dfrac{5+123}{16}=\dfrac{128}{16}\\ \boxed{n=8}$