Question

quantos termos devem ser inseridos entre o numero 1/9 e 81 para obter uma pg de razão 3?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Nicoly, que a resolução é simples.
Pede-se: quantos termos geométricos deverão ser inseridos entre os números "1/9" e "81" para que se obtenha uma PG de razão 3 (q = 3).

Veja: pela fórmula do termo geral de uma PG saberemos qual será o número (n) de termos, sabendo-se que o primeiro termo (a₁) é igual a "1/9", a razão (q) é igual a "3" e o último termo (an) é igual a "81". Assim, ao encontrar o valor de "n" estaremos encontrando todos os termos da PG. Mas como já temos o primeiro e o último, então os inseridos serão a diferença entre o número encontrado menos "2" (que são os dois termos entre os quais vão ser inseridos os demais termos).
A fórmula do termo geral é esta:

an = a₁*qⁿ⁻¹ ------ assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

81 = (1/9)*3ⁿ⁻¹ ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
9*81 = 1*3ⁿ⁻¹
729 = 3ⁿ⁻¹ ----- vamos apenas inverter, ficando:
3ⁿ⁻¹ = 729 ---- veja que 729 = 3⁶. Logo:

3ⁿ⁻¹ = 3⁶ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:

n - 1 = 6
n = 6 + 1
n = 7 <--- Este é o número total de termos da PA (incluindo os dois extremos, ou seja, incluindo o primeiro termo "1/9" e o último termo "81").
Assim, a quantidade de termos a ser incluída será de:

7 - 2 = 5 termos <--- Esta é a resposta. Esta é a quantidade de termos a ser inserida entre (1/9" e "81", numa PG de razão igual a "3".

Bem, a resposta já está dada. Agora, por mera curiosidade, vamos ver qual seria essa PG com todos os seus 7 termos. Assim, a partir do primeiro termo (1/9) e da razão "3" encontraremos todos os 7 termos da PG. Logo:

a₁ = 1/9 <--- Este é o primeiro termo.
a₂ = (1/9)*3 = 3/9 = 1/3
a₃ = (1/3)*3 = 3/3 = 1
a₄ = 1*3 = 3
a₅ = 3*3 = 9
a₆ = 9*3 = 27
a₇ = 27*3 = 81 <---- Este é o último termo.

Note: entre o primeiro termo e o último termo inserimos 5 termos, ou seja, a PG completa seria esta, com os termos inseridos marcados com uma flecha. Veja:

1/9; 1/3; 1; 3; 9; 27; 81
. . . .↑. . ↑. ↑. ↑. .↑. . . .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

devem ser inseridos 5 termos -  alternativa b