Question

quantos termos deve ter a progressão aritmética (7, 9, 11, 13) para que a sua soma seja 160????

Answer 1

A soma dos termos de uma P.A depende do primeiro termo, do último termo e do número de termos, pela expressão:
Sn = n(a1 + an)/2


O termo geral an de uma P.A pode ser encontrado pela seguinte fórmula:
an = a1 + (n-1)r, onde r é a razão.


Temos que a razão da P.A dada no enunciado é 2 (pois 13 - 11 = 11 - 9 = 9 = 7 = 2) e seu primeiro termo é 7. Substituindo an na equação de Sn, temos:
Sn = n(a1 + a1 + (n-1)r)/2


Como a soma deve ser 160 e temos os valores de a1 e r, podemos substituí-los e calcular n:
160 = n(7 + 7 + (n-1)*2)/2
160 = n(14 + 2n - 2)/2
160 = n(12 + 2n)/2
160 = (12n + 2n²)/2
160 = 6n + n²
n² + 6n - 160 = 0


Temos uma equação de segundo grau que pode ser resolvida por Bhaskara e que nos dá as raízes 10 e -16. Como não podemos ter um número de termos negativo, essa P.A deve ter 10 termos para sua soma ser 160.