Question

Quantos são os pares de números inteiros positivos $(x, y)$ tais que $\dfrac{xy}{x+y}=144$ ?

Answer 1

A equação dada é equivalente a $xy=144(x+y)=144x+144y$,portanto, isolando $x$, obtemos $x=\dfrac{144y}{y-144}$.

Como $x$ e $y$ devem ser inteiros positivos, o denominador $y-144$ deve ser um número inteiro positivo, digamos, $y-144=n$

Substituindo essa expressão no valor de $x$, obtemos:

$x=\dfra{144(n+144)}{n}=144+\dfrac{144^2}{n}$

Como $x$ deve ser um número inteiro, $n$ deve ser um divisor de $144^2$. 

Sendo $144^2=12^4=2^8\cdot3^4$, seus divisores são os números $d$ da forma $d=2^a\cdot3^b$, com $0\le a\le8$ e $0\le b\le4$

Como há $9$ valores possíveis para $a$ e $5$ valores possíveis para $b$, concluímos que $144^2$ tem $9\times5=45$ divisores.

Assim, para cada divisor $n$ de $144^2$, obtemos uma solução
$(x, y)=\left(144+\dfrac{144^2}{n}, n+144\right)$ da equação $\dfrac{xy}{x+y}=144$ dada.

Portanto, essa equação possui $45$ pares de números inteiros positivos $(x, y)$ que a satisfazem.