Quantos são os números pares positivos de 3 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais? O número 238 é um exemplo de um número nas condições desejadas, enquanto que 288 apresenta números adjacentes iguais.
Suponha que n= ABC seja um desses números e conte separadamente os casos em que B ou C é o algarismo zero e o caso em que ambos algarismos B ou C são não nulos.
Soluções para a tarefa
Para resolver esse problema, vamos dividi-lo em 3 casos.
Chamemos os números a serem formados de ABC.
1° caso: ABC com B = 0.
Para este caso, A pode assumir qualquer valor de 1 a 9, pois se o 0 ocupar este lugar, o número possuiria 2 algarismos ao invés de 3, além disso, o 0 já está em B, e números adjacentes não podem ser iguais. Logo, há 9 possibilidades;
Em B, o 0 está fixado. Logo, há 1 possibilidade;
Em C, somente algarismos pares, com exceção do 0 (2, 4, 6 e 8), poderão ocupar este lugar. Logo, há 4 possibilidades.
Assim, pelo princípio multiplicativo podem ser formados números.
2° caso: ABC com B sendo par.
Para este caso, A pode assumir qualquer valor, com exceção do 0, que faria o número possuir 2 algarismos ao invés de 3, e com exceção também, do algarismo a ser utilizado em B. Logo, há 8 possibilidades;
Em B, iremos utilizar somente algarismos pares, com exceção do 0, que já calculamos no 1° caso. Logo, há 4 possibilidades;
Em C, somente algarismos pares, com exceção do que foi utilizado anteriormente poderão ocupar este lugar, e o 0, agora sim, pode ser utilizados. Logo, há 4 possibilidades.
Então, mais uma vez, pelo princípio multiplicativo, podem ser formados números.
3° caso: ABC com B sendo ímpar.
Para este caso, A pode assumir qualquer valor, com exceção do 0, que faria o número possuir 2 algarismos ao invés de 3, e com exceção também, do algarismo a ser utilizado em B. Logo, há 8 possibilidades;
Em B, iremos utilizar somente algarismos ímpares. Logo, há 5 possibilidades;
Em C, podemos utilizar todos os algarismos pares, incluindo o 0. Logo, há 5 possibilidades.
Portanto, pelo princípio multiplicativo, podem ser formados números.
Por fim, pelo princípio aditivo, chegamos a conclusão de que podem ser formados números pares sem algarismos adjacentes iguais.
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Bons estudos! ;-)