Quantos são os números pares de 6 algarismos que tem exatamente um algarismo 0 e um algarismo 3 em posições consecutivas, que podem ser formados usando os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,8 e 9?
Soluções para a tarefa
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1
Queremos encontrar a quantidade de números pares de seis algarismos do conjunto
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}
que contenham a subcadeia "03" ou "30" em qualquer posição.
Fixando a subcadeia "03" e pensando nisso como se fosse um único dígito, sobram mais quatro posições a serem preenchidas.
Como o enunciado não diz nada a respeito, assume-se que é permitida a repetição de algarismos, exceto os algarismos 0 e 3.
Então para as outras quatro posições podemos escolher os algarismos deste conjunto:
{1, 2, 4, 5, 6, 8, 9}
(sete possibilidades)
____________
Temos 5 formas possíveis de posicionar a subcadeia "03" no número:
[ 0 3 ] ___ ___ ___ ___ (não serve, pois não pode começar com 0)
___ [ 0 3 ] ___ ___ ___ ✓
___ ___ [ 0 3 ] ___ ___ ✓
___ ___ ___ [ 0 3 ] ___ ✓
___ ___ ___ ___ [ 0 3 ] (não serve, pois sempre é ímpar)
• Calculando a quantidade de números total de números pares que contém a subcadeia "03":
Só podem ser considerados aqueles que não apresentam a subcadeia "03" ao início nem ao final do número, sobrando apenas três configurações possíveis.
Logo, usando o princípio multiplicativo para cada uma das três configurações, temos
7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4
= 3 · 7 · 7 · 7 · 4
= 3 · 7³ · 4
= 4116 números
__________
Mas podemos ainda permutar os elementos fixos da subcadeia:
[ 3 0 ] ___ ___ ___ ___ ✓
___ [ 3 0 ] ___ ___ ___ ✓
___ ___ [ 3 0 ] ___ ___ ✓
___ ___ ___ [ 3 0 ] ___ ✓
___ ___ ___ ___ [ 3 0 ] (esta sempre fornece números pares) ✓
• Calculando a quantidade de números total de números pares que contém a subcadeia "30":
Usando o princípio multiplicativo para cada uma das cinco configurações, temos
7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 7
= 3 · 7³ · 4 + 7⁴
= 4116 + 2401
= 6517 números
__________
Por fim, o resultado procurado é a soma dos dois resultados encontrados:
4116 + 6517
= 10633 números <——— esta é a resposta.
Bons estudos! :-)
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}
que contenham a subcadeia "03" ou "30" em qualquer posição.
Fixando a subcadeia "03" e pensando nisso como se fosse um único dígito, sobram mais quatro posições a serem preenchidas.
Como o enunciado não diz nada a respeito, assume-se que é permitida a repetição de algarismos, exceto os algarismos 0 e 3.
Então para as outras quatro posições podemos escolher os algarismos deste conjunto:
{1, 2, 4, 5, 6, 8, 9}
(sete possibilidades)
____________
Temos 5 formas possíveis de posicionar a subcadeia "03" no número:
[ 0 3 ] ___ ___ ___ ___ (não serve, pois não pode começar com 0)
___ [ 0 3 ] ___ ___ ___ ✓
___ ___ [ 0 3 ] ___ ___ ✓
___ ___ ___ [ 0 3 ] ___ ✓
___ ___ ___ ___ [ 0 3 ] (não serve, pois sempre é ímpar)
• Calculando a quantidade de números total de números pares que contém a subcadeia "03":
Só podem ser considerados aqueles que não apresentam a subcadeia "03" ao início nem ao final do número, sobrando apenas três configurações possíveis.
Logo, usando o princípio multiplicativo para cada uma das três configurações, temos
7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4
= 3 · 7 · 7 · 7 · 4
= 3 · 7³ · 4
= 4116 números
__________
Mas podemos ainda permutar os elementos fixos da subcadeia:
[ 3 0 ] ___ ___ ___ ___ ✓
___ [ 3 0 ] ___ ___ ___ ✓
___ ___ [ 3 0 ] ___ ___ ✓
___ ___ ___ [ 3 0 ] ___ ✓
___ ___ ___ ___ [ 3 0 ] (esta sempre fornece números pares) ✓
• Calculando a quantidade de números total de números pares que contém a subcadeia "30":
Usando o princípio multiplicativo para cada uma das cinco configurações, temos
7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 4 + 7 · 7 · 7 · 7
= 3 · 7³ · 4 + 7⁴
= 4116 + 2401
= 6517 números
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Por fim, o resultado procurado é a soma dos dois resultados encontrados:
4116 + 6517
= 10633 números <——— esta é a resposta.
Bons estudos! :-)
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