Quantos são os números naturais entre 0 e 999, nos quais aparece pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3?
Soluções para a tarefa
Resposta:
São 217 números naturais com estas restrições
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
Quantos são os números naturais entre 0 e 999, nos quais aparece pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3?
Resolução:
Observação 1 → entre os números naturais, zero e nove, há dez algarismos possíveis de serem utilizados.
{ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
Observação 2 → Restrição
Aparece pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3
Temos três espaços para preencher:
Começamos por considerar que o 2 ocupa só uma posição, possíveis de três maneiras diferentes
1ª Hipótese
Na posição mais à esquerda fica o algarismo 2.
Sendo assim para esta posição há só uma possibilidade
"Nas outras duas posições não quero nem algarismo 2 nem algarismo 3 "
Nestas posições, dos 10 algarismos teoricamente possíveis, temos para usar apenas oito algarismos, (pois exclui-se o 2 e o 3) .do seguinte modo:
Aqui Aqui não fica Aqui não fica
fica o 2 nem 2 nem 3 nem 2 nem 3
___________ ____________ ___________
1 possibilidade 8 possibilidades 8 possibilidades
Nesta hipótese temos : 1 * 8 * 8 = 64
2ª Hipótese
Semelhante à primeira , só que o algarismo 2 ocupa uma única posição ,
a 2ª posição
Aqui não fica Aqui Aqui não fica
nem 2 nem 3 fica o 2 nem 2 nem 3
___________ ____________ ___________
8 possibilidades 1 possibilidade 8 possibilidades
Nesta hipótese temos : 8 * 1 * 8 = 64
3ª Hipótese
Semelhante à primeira , só que o algarismo 2 ocupa uma única posição ,
a posição mais à direita
Aqui não fica Aqui não fica Aqui
nem 2 nem 3 nem 2 nem 3 fica o 2
___________ ____________ ____________
8 possibilidades 8 possibilidades 1 possibilidade
Nesta hipótese temos : 8 * 8 * 1 = 64
Nestas três hipóteses temos já 64 + 64 + 64 = 192 números
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Aparecer em diferentes posições, o número 2 , repetido uma vez
4ª Hipótese
Aqui Aqui Aqui não fica
fica o 2 fica o 2 nem 2 nem 3
___________ ____________ ____________
1 possibilidade 1 possibilidade 8 possibilidades
Nesta hipótese temos : 1 * 1 * 8 = 8
5ª Hipótese
Semelhante à 4ª hipótese só mudando uma posição no 2
Aqui Aqui não fica Aqui fica
fica o 2 nem 2 nem 3 o 2
___________ ____________ ____________
1 possibilidade 8 possibilidades 1 possibilidade
Nesta hipótese temos : 1 * 8 * 1 = 8
6ª Hipótese
Semelhante à 4ª hipótese só mudando uma posição no 2
Aqui não fica Aqui fica Aqui fica
nem 2 nem 3 o 2 o 2
___________ ____________ ____________
8 possibilidades 1 possibilidade 1 possibilidade
Nesta hipótese temos : 8 * 1 * 1 = 8
Nestas três hipóteses temos já 8 + 8 + = 24 números
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Aparecer em todas as posições o 2
Aqui fica Aqui fica Aqui fica
o 2 o 2 o 2
___________ ____________ ____________
1 possibilidade 1 possibilidade 1 possibilidade
Nesta hipótese temos : 1 * 1 * 1 = 1
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Total de possibilidades, de acordo com a restrição:
192 + 24 + 1 = 217
Bom estudo.
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Sinais: ( * ) multiplicação
Resposta:São 217 números naturais com estas restrições