Question

Quantos são os números inteiros não negativos k para os quais a equação x^2+ 6x + k = 0
tem soluções inteiras?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Tadeu, queremos que "k" seja inteiro e não negativo.
Então, deveremos começar a dar valores a "k" a partir do zero e, a partir daí, iremos dando valores a "k" de uma em uma unidade, ou seja: a partir de k = 0,iremos para k = 1, para k = 2, etc,  até que sempre tenhamos um valor não negativo em √(6² - 4*1*k) = √(36-4k), pois não raiz quadrada de números negativos. Por isso é que afirmamos aí em cima: ... até que sempre tenhamos um valor não negativo em...
E após isso, deveremos ter soluções inteiras em: [-6+-√(36-4k)]/2.
Então vamos ver, procurando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Para k = 0 em:

[-6+-√(36-4k)]/2 ---- substituindo "k" por "0", teremos:
[-6+-√(36-4*0)]/2
[-6+-√(36-0)]/2
[-6+-√(36)]/2  ---- como √(36) = 6, teremos:
[-6+-6]/2 ----- a partir daqui poderemos ter as seguintes raízes:

[-6-6]/2 = [-12]/2 = -6 <--- Válido, pois temos aqui uma solução inteira.
e
[-6+6]/2 = [0]/2 = 0 <--- Valido, pois temos aqui também uma solução inteira.

Logo, para k = 0, obtivemos duas soluções inteiras.

ii) Para k = 1 em:

[-6+-√(36-4k)]/2 ---- substituindo "k" por "1", teremos:
[-6+-√(36-4*1)]/2
[-6+-√(36-4)]/2
-6+-√(32)]/2 ---- como √(32) não é exata, então não iremos ter solução inteira. Logo, para k = 1, não obteremos soluções inteiras.

iii) E assim vamos ver que, para k = 2, para k = 3 e para k = 4 , não haverá uma raiz exata e, logo, não haverá soluções inteiras.

iv) Para k = 5 em:

[-6+-√(36-4k)]/2 ---- substituindo "k" por "5", teremos:
[-6+-√(36-4*5)]/2
[-6+-√(36-20)]/2
[-6+-√(16)]/2 ---- como √(16) = 4, teremos:
[-6+-4]/2 ---- daqui você conclui que:

[-6-4]/2 = [-10]/2 = -5 <--- Válido, pois temos aqui uma solução inteira
ou
[-6+4]/2 = [-2]/2 = -1 <--Válido, pois temos também aqui uma solução inteira.

Assim, para k = 4, obtivemos duas soluções inteiras. 

 v) Vamos ver que: para k = 6 e para k = 7, não haverá raiz quadrada exata e, assim, não obteremos soluções inteiras.

vi) Para k = 8, em:

[-6+-√(36-4k)]/2 ---- substituindo "k" por "8", teremos:
[-6+-√(36-4*8)]/2
[-6+-√(36-32)]/2
[-6+-√(4)]/2 ---- como √(4) = 2, teremos;
[-6+-2]/2 ---- daqui você conclui que:

[-6-2]/2 = [-8]/2 = - 4 <--- Válido, pois temos aqui uma solução inteira.
ou
[-6+2]/2 = [-4]/2 = -2 <--Válido, pois aqui também temos uma solução inteira.

Logo, para kk = 8, obtivemos duas soluções inteiras.

vii) Para k = 9 em:

[-6+-√(36-4k)]/2 ---- substituindo "k" por "9", teremos:
[-6+-√(36-4*9)]/2
[-6+-√(36-36)]/2
[-6+-√(0)]/2 ---- como √(0) = 0, teremos:
[-6+-0]/2 --- ou apenas:
[-6]/2 = - 3 <--- Válido, pois temos aqui uma solução inteira.

Logo, para k = 9, obtivemos uma solução inteira.

viii) Agora note: para "k" a partir de "9" em diante, iremos obter números negativos como radicando (radicando é o que fica dentro da raiz). E considerando que não há raízes quadradas de números negativos no âmbito dos reais, então paramos em k = 9.

ix) Assim, resumindo, temos que:

- há 4 números inteiros não negativos para "k", que fazem com que haja soluções inteiras na função dada <--- Esta é a resposta.
 
Apenas para lembrar, veja que esses 4 números inteiros para "k" são, como visto antes:

k = 0; k = 5; k = 8 e k = 9.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.