Question

Quantos são os anagramas de cada uma das palavras, FATOR e MATEMÁTICA, em que nenhuma das letras ocupa a posição ocupada inicialmente em cada palavra?

Answer 1

Estes exercícios estão dentro do âmbito do conceito de "Desarranjo" (Dn) ..ou de Permutação Caótica.

Admitindo que o suporte teórico é do seu conhecimento ..vamos passar à resolução:

Questão - a) Palavra FATOR

Podemos resolver esta questão de 2 Formas:

Por Desarranjo:

Dn = 5! . (1!/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5!)

Dn = 5! . (1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/5!) ...no último termo mantemos 1/5! para efeitos de simplificação futura

Dn = 5! . (1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/5!)

..note que 1/24 = 1/4! ..logo vamos "reduzir os 2 primeiros termos ao mesmo denominador.

Dn = 5! . (12/24 - 4/24 + 1/24 - 1/5!)

Dn = 51 . (9/24 - 1/5!)

como vimos anteriormente 24 = 4!, então

Dn = 5! . (9/4! - 1/5!)

aplicando a distributiva teremos:

Dn = (5! . 9/4!) - 5!/5!

Dn = (5 . 4! . 9/4!) - 1

Dn = (5 . 9) - 1

Dn = 45 - 1

Dn = 44 anagramas

Outra forma de resolver esta questão era por "Permutação Caótica" e ...como n>2 ..podemos utilizar a constante de Euler (e) = 2,7182 ..e no final basta arredondar o valor para o número inteiro mais próximo, veja como:

!n = n!/e  <--- note que "e" = constante de Euler = 2,7182, donde resultará:

!n = 5!/e

!n = 120/2,7182

!n = 44,14686 ...logo o número inteiro mais próximo será o "44"


Questão - b) Palavra MATEMÁTICA

Esta questão também pode ser resolvida de 2 Formas

....mas dadas as restrições o desenvolvimento é absurdamente grande, pelo que vamos resolver utilizando a constante de Euler, assim

!n = (10!/2!3!2!)/e

...dado que em comentário já indiquei o desenvolvimento de (10!/2!3!2!), então

!n = 151200/e

!n = 151200/2,7182

!n = 55625,05 ...inteiro mais próximo 55625 <---- número de anagramas pedidos

Espero ter ajudado