Quantos são os anagramas da palavra PARAGUAIO que não possuem consoantes juntas?
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Existem 25200 anagramas da palavra PARAGUAIO que não possuem consoantes juntas.
Como queremos que as consoantes não fiquem juntas, então não podemos ter anagramas do tipo PRGAAUAIO ou PRAAGUAIO.
Sendo assim, vamos intercalar as consoantes P, R e G entre as vogais:
_ A _ A _ U _ A _ I _ O _
Para as consoantes, existem 7.6.5 = 210 possibilidades de ordenação.
Para as vogais, precisamos utilizar a permutação com repetição, pois a letra A aparece 3. Assim,
P = 6!/3!
P = 120 possibilidades.
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 210.120 = 25200 anagramas.
Resposta:
25200 <= número de anagramas sem consoantes juntas
Explicação passo-a-passo:
.
=> Temos 9 letras
sendo:
...3 Consoantes ...sem repetições
....6 vogais ...com repetições 3(a)
NOTA IMPORTANTE:
É pedido que os anagramas NÃO TENHAM consoantes juntas
...o que implica que não podem ter nem as 3 consoantes juntas ...nem 2 consoantes juntas!
Por outras palavras ...as consoantes tem de ficar alternadas com as vogais.
Veja que também os anagramas podem começar por consoante e terminar com vogal ...ou começar com vogal e terminar com consoante
=> Vamos integrar tudo no esquema abaixo:
| _ | V | _ | V | _ | V | _ | V | _ | V | _ | V | _ |
V = vogais separadas entre si
..temos representados "dígitos" a mais (a palavra tem apenas 9 dígitos) para incluir as possibilidade de começar ou terminar em consoante e de haver sempre um dígito de intervalo entre 2 vogais que permita intercalar qualquer das consoantes.
Raciocinando:
=> Para as Vogais
...Temos uma permutação das 6 vogais (entre si) ...com repetições de 3(a) ..de onde resulta P(V) = 6!/3!
=> Para as Consoantes
....Temos 7 possibilidades de colocação da 1ª consoante
....Temos 6 possibilidades de colocar a 2ª consoante
....Temos 5 possibilidade de colocar a 3ª e última consoante
..donde resultam (por PFC) = 7.6.5 = 210 possibilidades para as consoantes
Integrando tudo numa única expressão:
..o número (N) de anagramas será dado por
N = (6!/3!) . (7.6.5)
N = (6.5.4) . (7.6.5)
N = 120 . 210
N = 25200 <= número de anagramas sem consoantes juntas
Espero ter ajudado
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