Question

Quantos são os anagramas da palavra "CAPÍTULO":
a) que podemos formar?
b) que começam e terminam por vogal?
c) que têm as letras C, A e P juntas, nessa ordem?
d) que têm as letras C, A e P juntas, em qualquer ordem?
e) que têm a letra P, em primeiro lugar, e a letra A , em segundo?

Answer 1

Resposta:

a) 40320 anagramas.

b) 2160 anagramas.

c) 720 anagramas.

d) 4320 anagramas.

e) 720 anagramas.

Explicação passo-a-passo:

CAPÍTULO

a) Número de Anagramas:

Utilizamos a fórmula da permutação com repetição para resolver anagramas:

$p^{n}_{k!l!...}=\frac{n!}{k!l!...}$

Onde n é o número de letras: n=8

k, l... são a quantidade de vezes que determinada letra se repete (cada letra representa uma letra da palavra): por se tratar de uma palavra que não possui letras repetidas então não precisaremos se ater a essa parte;

Montando a fórmula:

$p=8!\\\\p=8*7*6*5*4*3*2*1\\p=40320$

Portanto o número anagramas possíveis são 40320.

b) Que começam e terminam por vogal:

Utilizaremos o P.F.C. (Princípio fundamental da contagem).

_ _ _ _ _ _ _ _  Cada tracinho corresponde a uma letra, nele escreveremos quantas possibilidades ele pode admitir, nesse caso:

Primeira e última letra devem ser vogais: CAPÍTULO

logo: 4 possibilidades no primeiro tracinho e no último haverá 3 (pois uma vogal já foi utilizada no primeiro tracinho), o resto dos tracinhos serão preenchidos com a quantidade de letras que vão estar sobrando:

_ _ _ _ _ _ _ _

4*_*_*_*_*_*_*3  Agora sobraram 6 letras para serem preenchidas nos outros tracinhos:

4*6*5*4*3*2*1*3

Multiplicando esses números no P.F.C.

Temos 2160 possibilidades.

c) Letras C,A,P juntas.

Também utilizaremos P.F.C., mas agora nós vamos considerar C, A e P como um elemento único pelo fato deles não permutarem entre si:

{_ _ _} _ _ _ _ _

{_} _ _ _ _ _

6! = 6*5*4*3*2*1

Temos 720 possibilidades.

d) Letras C,A,P juntas, mas permutando entre si (trocando).

Basta repetir o mesmo processo do item anterior, mas agora multiplicaremos as possibilidades dele por 3!:

{_ _ _} _ _ _ _ _

{_} _ _ _ _ _

6! = 6*5*4*3*2*1

Temos 720 possibilidades se C A P não permutarem entre si;

Agora procuraremos quantas possibilidades de anagramas haverão com as  letras C, A, P permutando:

p=n!

p=3!

p=6

logo o número de possibilidades será 720 * 6 = 4320 possibilidades.

e) Letra P em primeiro lugar e A em segundo:

Nós iremos utilizar novamente o P.F.C.

CAPÍTULO

P A _ _ _ _ _ _

Já que P e A não permutarão, então basta substituir os tracinhos pelas possibilidades e multiplicar:

1*1*6*5*4*3*2*1=6*5*4*3*2*1

720 Possibilidades