Question

Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”: a) que podemos formar? b) que começam e terminam por vogal? c) que têm as letras C, A e P juntas, nessa ordem? d) que têm as letras C, A e P juntas, em qualquer ordem? e) que têm a letra P, em primeiro lugar, e a letra A , em segundo?

Answer 1

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$\tt{a)}~\sf{\underbrace{CAP\acute{I}TULO}_{P_8}=8!=40320}\\\tt{b)}~\sf{\underbrace{\boxed{A}CP\acute{I}TUL\boxed{O}}_{12P_6}=12\cdot6!=8640}\\\tt{c)}~\sf{\underbrace{\boxed{CAP}\acute{I}TULO}_{P_6}=6!=720}\\\tt{d)}~\sf{\underbrace{\boxed{CAP}\acute{I}TULO}_{P_3\cdot P_6}=3!\cdot6!=4320}\\\tt{e)}~\sf{\underbrace{\boxed{P}\boxed{A}C\acute{I}TULO}_{P_6}=6!=720}$

Answer 2

(a) 40 320 anagramas

(b) 8640 anagramas

(c) 720 anagramas

(d) 4 320 anagramas

(e) 720 anagramas

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Problemas que envolvem anagramas são, em sua essência, problemas de permutação.

No caso geral, temos $n$ modos de escolher o objeto que ocupará o primeiro lugar, $n-1$ modos de escolher o que ocupará o segundo lugar, ..., 1 modo de escolher o objeto que ocupará o último lugar. Portanto,

O numero de modos de ordenar $n$ objetos distintos é:

$P_{n}=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1$

Voltando a questão, as soluções serão dadas em etapas.

(a) Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO” que podemos formar?

Cada anagrama de CAPÍTULO nada mais é que uma ordenação das letras C, A, P, Í, T, U, L, O. Assim, o número de anagramas de CAPÍTULO é $P_{8}=40 320$

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(b) Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO” que começam e terminam por vogal?

A vogal inicial pode ser escolhida de 4 maneiras, a vogal final de 3 maneiras e as 6 letras restantes podem ser arrumadas entres essas duas vogais de $P_{6}=720$ modos. Assim, tem-se 4 . 3 . 720 =  8640 anagramas.

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(c) Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO” que que têm as letras C, A e P juntas, nessa ordem?

Para tal, basta considerar tais letras como se fossem uma só. Assim, teremos 6 "letras". Com isso, tem-se $P_{6}=720$ anagramas.

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(d) Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO” que que têm as letras C, A e P juntas, em qualquer ordem?

Da mesma forma, basta considerar tais letras como se fossem uma só. Acontece porém, que temos que contar também o número de maneiras delas permutarem entre si. Isto acontece de 3! = 6 maneiras.

Como são 6 "letras", tem-se $P_{6}=720$ anagramas com CAP juntas nessa ordem e multiplicando por 6, tem-se 4320 anagramas.

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(e) Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO” que tem a letra P, em primeiro lugar, e a letra A , em segundo?

Nesse formato, temos fixos a primeira e segunda letra do anagrama. Nossa tarefa então é somente determinar os anagramas para as posições restantes.

Como são 6 letras restantes, tem-se $P_{6}=720$ anagramas.

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