Question

quantos restos diferentes são possíveis da divisão de numero ao quadrado por 11 sendo n um número natural?

Answer 1

Para resolver este exercício utilizarei a notação de módulo:
$k \: mod \: n$
Essa notação resulta o resto da divisão de k por n, exemplo:
$5\: mod \: 3$
Dividindo 5 por 3 teremos quociente 1 e resto 2, portanto:
$5 \: mod \: 3=2$
Explicado isso vamos ao exercício.
O enunciado pede todos os valores de x tal que:
$x=n^2 \: mod \: 11$
Devido à uma propriedade dos restos, o módulo de algum produto é igual ao produto dos módulos:
$a*b \: mod \: n = a \: mod \: n \: * \: b \: mod \: n$
Utilizaremos a mesma coisa:
$x=n^2 \: mod \: 11$
$x=(n \: mod \: 11)^2 \: mod \: 11$
É importante ressaltar que n mod 11 só pode resultar num valor entre 0 e 10, nada além disso. portanto, substituiremos para cada valor de 0 a 10
$x=(0)^2 \: mod \: 11=0$
$x=(1)^2 \: mod \: 11=1$
$x=(2)^2 \: mod \: 11=4$
$x=(3)^2 \: mod \: 11=9$
$x=(4)^2 \: mod \: 11=5$
$x=(5)^2 \: mod \: 11=3$
$x=(6)^2 \: mod \: 11=3$
$x=(7)^2 \: mod \: 11=5$
$x=(8)^2 \: mod \: 11=9$
$x=(9)^2 \: mod \: 11=4$
$x=(10)^2 \: mod \: 11=1$

Assim, os possíveis restos de uma quadrado perfeito por 11 são: (0, 1, 3, 4, 5, 9)