Question

Quantos quadrados perfeitos são divisores do produto $\mathrm{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 8! \cdot 9!}$

Answer 1

vou tentar...

vou calcular cada um, depois fatorar

$1!=1 \\ 2!=2 \\ 3!=3.2\mapsto6=2.3 \\ 4!=4.3.2\mapsto120=2^3.3.5 \\ 5!=5.4.3.2\mapsto120=2^3.3.5 \\ 6!=6.5.4.3.2\mapsto720=2^4.3^2.5 \\ 7!=7.6.5.4.3.2\mapsto5040=2^4.3^2.5 \\ 8!=8,7.6.5.4.3.2\mapsto40320=2^7.3^2.5.7 \\ 9!=9.8.7.6.5.4.3.2\mapsto362880=2^7.3^4.5.7$ 

vamos multiplicar as fatorações aplicando a propriedade de potência de mesma base

$2^{30}.3^{13}.5^5.7^2=$

separar os expoentes

30,13,5,2

como queremos só os divisores quadrados perfeitos
vamos colocar os números pares  existentes em cada um

$30=0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30 \\ 13=0,2,4,6,8,10,12 \\ 5=0,2,4 \\ 2=0,2$ 

contar quantos algarismos tem cada um

$30\mapsto16 \\ 13\mapsto7 \\ 5\mapsto3 \\ 2\mapsto2$ 

vamos multiplicar

$(16)(70(3)(2)=672$

São 672 quadrados perfeitos