Question

Quantos números pares distintos de 4 algarismos, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6 e 8?

Answer 1

Bom Dia!

• Para que os números formandos sejam PARES, precisamos ter algarismos pares na casa das unidades.

• Lembre-se que o algarismo ZERO não pode aparecer no inicio, no caso dessa questão na casa das UNIDADES DE MILHAR. Isso é provado da seguinte maneira:

>0564 é igual a 564

__________________________

__UM__×__C__×__D__×__U__

U → Unidade's

D → Dezena's

C → Centena's

UM → Unidade de Milhar

__________________________

Vamos utilizar o método da fixação:

• Pra chegar ao resulta final, podemos trabalhar com a fixação do zero que é uma restrição da casa das UNIDADES DE MILHAR e  com qualquer outro dos números pares que no foi oferecido.

FIXANDO o (0):

Possibilidades de escolha: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8) → 8 algarismos

• Possibilidades de escolha para casa das UNIDADE's; (0, 2, 4, 6 8) → 1 algarismo(ZERO que foi FIXADO)

• Possibilidades de escolha para casa das UNIDADE's de MILHAR; (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8) → 7 algarismos

• Possibilidades de escolha para casa das CENTENA's; (0, 1, 3, 5, 6, 8) →  6 algarismos

• Possibilidades de escolha para casa das DEZENA's; ( 1, 2, 4, 6, 8) → 5 algarismos

Principio Multiplicativo da contagem:

UM×C×D×U → 7×6×5×1 = 210

_____________________________________________

• Vamos trabalhar com a fixação de mais um número, tendo em vista que com exceção do algarismo (0) todo os outros dígitos pares que venham a ser fixados resultarão no mesmo valor, que são eles; (2, 4, 6, 8) → 4 vezes

• Possibilidades de escolha para casa das UNIDADE's; (0, 2, 4, 6 8) → 1 algarismo(O quatro que foi FIXADO)

• Possibilidades de escolha para casa das UNIDADE's de MILHAR; (1, 2, 3, 5, 6, 8) → 6 algarismos

• Possibilidades de escolha para casa das CENTENA's; (0, 2 3, 5, 6, 8) →  6 algarismos

• Possibilidades de escolha para casa das DEZENA's; ( 2, 5 6, 8) → 5 algarismos

Principio Multiplicativo da contagem:

UM×C×D×U → 6×6×5×1 = 180

• Sabemos que todos os outros números pares que venham a ficar FIXOS na casa das UNIDADES de MILHAR, resultarão em 180,
• São quatro possibilidades de FIXAÇÃO com exceção do ZERO (2, 4, 6, 8)

• Podemos multiplicar 4 por 180 e somar com 210 que foi o valor encontrado fixando o ZERO.

Resolução;

Principio Multiplicativo e Aditivo da contagem.

4×180+210 → 720+210 = 930 números

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\mathtt{930}}$

Explicação passo-a-passo:

Sejam p1, p2, p3 e p4 as posições dos números formados. Assim, temos as seguintes decisões a tomar em cada CASO, veja:

CASO I: o número termina com ZERO.

=> Decisão 1 (#d1): fixar o zero em p4, portanto, $\displaystyle \mathtt{\# d_1 = 1}$;

=> Decisão 2 (#d2): permutar os demais algarismos em p1, p2 e p3.; ou seja, permutar 7 algarismos três a três. Portanto, $\displaystyle \mathtt{\# d_2 = 7 \cdot 6 \cdot 5}$.

CASO II: o número termina com DOIS.

=> Decisão 3 (#d3): fixar o dois em p4, portanto, $\displaystyle \mathtt{\# d_3 = 1}$;

=> Decisão 4 (#d4): escolher um algarismo para p1 diferente de zero e de dois. Portanto, $\displaystyle \mathtt{\# d_4 = 6}$.

=> Decisão 5 (#d5): escolher um algarismo para p2 diferente dos escolhidos em p1 e p4. Daí, $\displaystyle \mathtt{\# d_5 = 6}$.

=> Decisão 6 (#d6): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em p1, p2 e p4. Daí, $\displaystyle \mathtt{\# d_6 = 5}$.

CASO III: o número termina com QUATRO.

=> Decisão 7 (#d7): fixar o quatro em p4, portanto, $\displaystyle \mathtt{\# d_7 = 1}$;

=> Decisão 8 (#d8): escolher um algarismo para p1 diferente de zero e de quatro. Portanto, $\displaystyle \mathtt{\# d_8 = 6}$.

=> Decisão 9 (#d9): escolher um algarismo para p2 diferente dos escolhidos em p1 e p4. Daí, $\displaystyle \mathtt{\# d_9 = 6}$.

=> Decisão 10 (#d10): escolher um algarismo para p3 diferente dos escolhidos em p1, p2 e p4. Daí, $\displaystyle \mathtt{\# d_{10} = 5}$.

Caso IV e V serão análogos aos casos II e III. Daí, pelo Princípio Aditivo e Multiplicativo, teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 1 + 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 1 + 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 1 + 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 1 + 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 1 =} \\\\ \mathsf{7 \cdot 6 \cdot 5 + 4 \cdot (6 \cdot 6 \cdot 5) =} \\\\ \mathsf{210 + 720 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{930}}}$