Quantos números naturais pares ou múltiplos de 5, com 3 algarismos distintos,
podem ser formados com os algarismos 0, 2, 3, 5, 6, 8, 7 e 9?
Soluções para a tarefa
Temos o conjunto dado {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7} ..num total de 8 algarismos
=> Pretendemos saber qual é o total de números pares ..OU.. múltiplos de 5, com três algarismos distintos
Vamos começar por decompor o conjunto dado em dois sub-conjuntos:
--> Sub-conjunto dos algarismos pares [0, 2, 4, 6} ..conjunto "A"
--> Sub-conjunto dos algarismos "múltiplos de 5" {5} ..conjunto "B"
=> Calculando o total de números pares de 3 algarismos
...fixando o zero nas unidades |_|_|0| teremos:
...7 possibilidades para o algarismo da centenas (todos menos o "0")
...6 possibilidades para as dezenas (rodos menos o "0" e o usado nas centenas)
....1 possibilidade para as unidades (o zero)
assim teremos o sub-total = 7 . 6 . 1 = 42 possibilidades
... O "zero" NÃO PERTENCE nem ás unidades nem as ás centenas, teremos:
...6 possibilidades para o algarismo da centenas (todos menos o "0" e o algarismo das unidades)
...6 possibilidades para as dezenas (rodos menos os usado nas centenas e nas unidades)
....3 possibilidade para as unidades (2, 4, 6)
assim teremos o sub-total = 6 . 6 . 3 = 108 possibilidades
Donde resulta um total (N) de números pares distintos dados por:
N = 42 + 108
N = 150 <= total de números pares distintos
=> Calculando o total de números de 3 algarismos "MÚLTIPLOS DE 5"
..Para ser um número múltiplo de 5 ...tem de terminar em "0" ou "5"
assim e como já vimos acima:
...fixando o zero nas unidades |_|_|0| teremos:
...7 possibilidades para o algarismo da centenas (todos menos o "0")
...6 possibilidades para as dezenas (rodos menos o "0" e o usado nas centenas)
....1 possibilidade para as unidades (o zero)
assim teremos o sub-total = 7 . 6 . 1 = 42 possibilidades
...fixando o "5" nas unidades teremos:
...6 possibilidades para o algarismo da centenas (todos menos o "0" e o "5")
...6 possibilidades para as dezenas (rodos menos o "5" e o usado nas centenas)
....1 possibilidade para as unidades (o "5")
assim teremos o sub-total = 6 . 6 . 1 = 36 possibilidades
Donde resulta um total (N) de números "múltiplos de 5" distintos dados por:
N = 42 + 36
N = 78 <= total de números "múltiplos de 5" distintos
..note que há uma interseção dentre estes 2 conjuntos "A" e "B" ..e que é referente aos números terminados em zero ..donde resulta "A" ∩ "B" = 42
Assim o Total (N) de números distintos "PARES" ....OU... "MÚLTIPLOS DE 5" será dado por:
N = "A" + "B" - ["A" ∩ "B"]
N = 150 + 78 - 42
N = 186 <= Total de números pares distintos ..OU.. múltiplos de 5
A quantidade de números naturais com esta configuração é 186.
A tarefa proposta é uma questão de Combinatória. Nesta ramo da matemática, estuda-se métodos de contagem e a formação de agrupamentos diversos.
Como você pode imaginar, existem múltiplos de 5 que são pares. Para isto, basta que termine com zero. Para não correr o risco de contar duas vezes o mesmo número, contemos primeiramente os múltiplos de 5 que terminam com 5 ou 0 e depois, separadamente, os pares que terminam com 2, 6 ou 8.
⇒ Números de 3 algarismos que terminam com 5 :
__ __ 5
Para a casa das centenas temos 6 números (todos menos o cinco e o zero).
Para a casa das dezenas temos também 6 números (todos menos o cinco e o número usado na casa das centenas). Observe que o zero agora pode entrar. Logo, pelo princípio multiplicativo,
6 . 6 = 36 números
⇒ Números de 3 algarismos que terminam com 0:
__ __ 0
Para a casa das centenas temos 7 números (todos menos o zero).
Para a casa das dezenas temos 6 números (todos menos o zero e o número usado na casa das centenas). Assim,
6 . 7 = 42 números
⇒ Números de 3 algarismos que são pares e terminam com 2, 4 ou 6:
Para a casa das unidades temos 3 números.
Para a casa das centenas temos 6 números (todos menos o zero e o par usado).
Para a casa das dezenas temos 6 números (todos menos o par usado e o da centena; agora o zero entra). Logo,
3 . 6 . 6 = 108 números
Fazendo a soma, 36 + 42 + 108 = 186 números
Veja também:
https://brainly.com.br/tarefa/181133
