quantos números naturais de quatro algarismos existentes podem ser representados com tres algarismos 0,1,5,7 e 9
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Vamos separar em dois casos: Sem zero e Com zero
Sem zero: as possibilidades para os algarismos são 4, 3 e 2 para o quarto algarismo são 3 possibilidades, pois o quarto algarismo deve ser a repetição de um dos três anteriores, o algarismo repetido pode estar em qualquer uma das 4 posições então multiplicarmos 4×3×2×3×4=288
Com zero: temos que dividir em mais dois casos, se zero for o número que repetirá ou não.
Com zero, sem repetição: temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo, considerando o segundo sendo zero então temos apenas 1 possibilidade, para o próximo temos 3 possibilidades e para o quarto algarismos temos 2 possibilidades, pois pode ser qualquer um dos algarismos anteriores, exceto o zero. O zero pode ficar em 3 posições e o algarismo repetido em 3 posições tbm, pois o zero já está em uma posição assim sobrando 3 possibilidades para o algarismo repetido. Então multiplicarmos 4x1x3x2x3x3=216
Com zero, com repetição: temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo, considerando o segundo algarismo como zero, temos apenas 1 possibilidade, 3 possibilidades para o terceiro algarismo e considerando o último algarismo como o zero repetido, então temos apenas 1 possibilidade. O zero pode ficar em 3 posições e o zero repetido em 2 posições, multiplicando tudo temos 4x1x3x1x3x2=72
Somando 288+216+72=576
Resultado: 576
Sem zero: as possibilidades para os algarismos são 4, 3 e 2 para o quarto algarismo são 3 possibilidades, pois o quarto algarismo deve ser a repetição de um dos três anteriores, o algarismo repetido pode estar em qualquer uma das 4 posições então multiplicarmos 4×3×2×3×4=288
Com zero: temos que dividir em mais dois casos, se zero for o número que repetirá ou não.
Com zero, sem repetição: temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo, considerando o segundo sendo zero então temos apenas 1 possibilidade, para o próximo temos 3 possibilidades e para o quarto algarismos temos 2 possibilidades, pois pode ser qualquer um dos algarismos anteriores, exceto o zero. O zero pode ficar em 3 posições e o algarismo repetido em 3 posições tbm, pois o zero já está em uma posição assim sobrando 3 possibilidades para o algarismo repetido. Então multiplicarmos 4x1x3x2x3x3=216
Com zero, com repetição: temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo, considerando o segundo algarismo como zero, temos apenas 1 possibilidade, 3 possibilidades para o terceiro algarismo e considerando o último algarismo como o zero repetido, então temos apenas 1 possibilidade. O zero pode ficar em 3 posições e o zero repetido em 2 posições, multiplicando tudo temos 4x1x3x1x3x2=72
Somando 288+216+72=576
Resultado: 576
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