quantos numeros naturais de 3 algarismos sao tais que, ao serem escritos na ordem inversa, o numero resultante de 3 algarismos excede em 99 o numero original?
Soluções para a tarefa
Resposta:
80.
Explicação passo-a-passo:
Denominando xyz um número qualquer de três algarismos e zyx a sua escrita invertida. e reescrevendo esses números utilizando decomposição em potências de 10:
xyz = 100x + 10y + z
zyx = 100z + 10y + x
Dessa forma:
zyx - xyz = 99
100z + 10y + x - (100x + 10y + z) = 99
100z - z + 10y - 10y + x - 100x = 9
99z - 99x = 99
Colocando o fator comum em evidência:
99 (z-x) = 99
Dividindo ambos os lados por 99:
z - x = 1
z = x + 1
Então, para que este caso ocorra, devemos ter que o algarismo z seja maior do que o algarismo a em 1 unidade.
Montando a operação de análise combinatória x . y . z:
Para x, temos 8 opções de algarismos, já que não pode ser zero (pois nenhum número de 3 algarismos inicia em zero) e não pode ser nove (pois z é maior do que x em 1 unidade e ele não poderia valer 10).
Para y, não temos restrições. Logo, temos 10 opções de algarismos.
Para z, só existirá uma opção (que é o respectivo x adicionada 1 unidade).
Assim, existem 8 . 10 . 1 = 80 possibilidades diferentes de números de três algarismos de modo que a sua escrita inversa exceda em 99 o seu valor original.
Sendo ABC o número de 3 algarismos, para A não nulo, temos:
CBA = ABC + 99 ⟺
100C + 10B + A = 100A + 10B + C + 99 ⟺
99C = 99A + 99 ⟺ C = A + 1.
Assim, A pode assumir os valores de 1 a 8, pois o maior valor de C é 9. O algarismo B pode ser nulo, podendo ser qualquer um de 0 a 9. Portanto, a quantidade de números ABC que podem ser obtidos é igual a 8 × 10 = 80.