Quantos números naturais de 3 algarismos são tais que, ao serem escritos na ordem inversa, o número
resultante de 3 algarismos excede em 99 o número original?
Soluções para a tarefa
Utilizando decomposição em potências de 10 e analise combinatória, vemos que existem 80 possibilidades diferentes de números de trÊs algarismos que quando invertido excedem em 99 seu valor original.
Explicação passo-a-passo:
Vamos então considerar o número de três algarismos como sendo:
ABC
E portanto a sua ordem invertida seria:
CBA
Podemos com estes valores, reescrever eles com base em sua decomposição em potências de 10, da forma:
ABC = A . 100 + B . 10 + C = 100A + 10B + C
CBA = C . 100 + B . 10 + A = 100C + 10B + A
E usando esta forma decomposta, podemos descobrir a diferença de CBA subtraído de ABC, pois sabemos que a diferença deles é igual a 99, então:
CBA - ABC = 99
100C + 10B + A - (100A + 10B + C) = 99
100C - C + 10B - 10B + A - 100A = 99
99C - 99A = 99
Podemos colocar 99 em evidÊncia do lado esquerdo:
99 ( C - A ) = 99
E dividir os dois lados por 99:
C - A = 1
C = A + 1
Assim sabemos que para este caso ocorrer, então temos que o algarismo C deve ser obrigatóriamente exatamente 1 unidade a mais que A.
Com isso voltemos a nosso número inicial:
ABC
Note que B não influenciou em nada, então temos que ele pode ser qualquer número, logo, temo 10 possibilidades de algarismos para ele (0 a 9):
A . B . C
_ . 10 . _
O algarismo 'A' por sua vez não pode ser 0, pois nenhum número de 3 algarismos começa com 0, e ele também não pode ser 9, pois como 'C' é exatamente 1 a mais que ele, C nesse caso seria 10, que não é um único algarismo, então 'A' só pode ser 8 opções (de 1 a 8), então:
A . B . C
8 . 10 . _
Já para o algarimos 'C', ele só pode ser uma opção, pois assim que escolhemos 'A' também escolhemos 'C', pois este é obrigatoriamente 1 a mais que 'A':
A . B . C
8 . 10 . 1
Multiplicando as possibilidades, teremos o total:
8 . 10 . 1 = 80
Assim vemos que existem 80 possibilidades diferentes de números de trÊs algarismos que quando invertido excedem em 99 seu valor original.
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