Question

Quantos números inteiros satisfazem a inequação x²-10x< -16

Answer 1

Resolver a inequação

$x^{2}-10x<-16$

no conjunto dos números inteiros:


Para completar o quadrado do lado esquerdo, vou adicionar $25$ aos dois lados da inequação:

$x^{2}-10x+25<-16+25\\ \\ x^{2}-10x+25<9$


Agora, o lado esquerdo é um trinômio quadrado perfeito:

$x^{2}-2\cdot 5x+5^{2}<9\\ \\ (x-5)^{2}<9$


Tirando a raiz quadrada dos dois lados, a desigualdade se mantém:

$\sqrt{(x-5)^{2}}<\sqrt{9}\\ \\ \sqrt{(x-5)^{2}}<3$


O lado esquerdo é igual ao módulo de $x-5:$

$|x-5|<3\\ \\ -3<x-5<3$


Somando $5$ a todos os membros da dupla desigualdade, chegamos a

$-3+5<x-5+5<3+5\\ \\ 2<x<8$


O conjunto solução é

$S=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$


e este conjunto possui $5$ elementos.