Question

quantos numeros inteiros satisfazem a inequação (5x+15) (-4x+8)>0

Answer 1

(3x – 25)(5 – 2x) ≥ 0

É uma inequação produto, entre duas funções que podemos representar como f(x).g(x)≥0

Primeiramente achamos a raiz de cada uma das funções.

1) Raiz da função f(x):

f(x) = 3x – 25
3x - 25 = 0
3x = 25
x = 25/3

Observe a primeira imagem abaixo com o estudo do sinal desta função.
Estudando o sinal desta função, notamos que:

a) Quando x > 25/3 a função f(x) é positiva.

Por exemplo, quando x = 27/3 = 9, temos que o resultado da função será:
f(x) = 3*9 – 25 = 27 - 25 = 2; portanto, maior que zero, ou seja, positiva.

b) Quando x < 25/3 a função é negativa.

Por exemplo, quando x = 15/3 = 5 temos que o resultado da função será:
f(x) = 3*5 – 25 = 15 - 25 = -10; portanto, menor que zero, ou seja, negativa.


2) Agora a raiz da função g(x):
g(x) = 5 – 2x
5 - 2x = 0
-2x = -5 (-1)
2x = 5
x = 5/2

Observe a segunda imagem abaixo com o estudo do sinal desta função.
Estudando o sinal desta função, notamos que:

a) Quando x > 5/2 a função g(x) é negativa.

Por exemplo, quando x = 10/2 = 5, temos que o resultado da função será:
g(x) = 5 – 2*5 = 5 - 10 = -5; portanto, menor que zero, ou seja, negativa.

b) Quando x < 5/2 a função é positiva.

Por exemplo, quando x = 4/2 = 2 temos que o resultado da função será:
g(x) = 5 – 2*2 = 5 - 4 = 1; portanto, maior que zero, ou seja, positiva.


3) Obtendo os valores que satisfazem a inequação:
Pela inequação dada, nos interessa apenas os valores para os quais a inequação é ≥ 0.

Baseado no estudo do sinal das funções que fizemos acima, descobriremos esses valores montando um "Quadro de Sinais".

Veja a terceira imagem com o Quadro de Sinais para acompanhar essa explicação.

O quadro de sinais funciona assim:

Colocamos as raízes das duas funções em ordem crescente numa reta.

Abaixo da reta escrevemos qual o sinal (positivo ou negativo) que cada função irá ter de acordo com o valor das raízes.

Depois disso, fazemos o jogo de sinal, para saber qual será o sinal da inequação f(x).g(x)

Para f(x) observamos:
Quando x < 5/2, f(x) terá sinal negativo;
Quando x > 5/2, f(x) terá sinal negativo;
Quando x > 25/3, f(x) terá sinal positivo.

Para g(x) observamos:
Quando x < 5/2, g(x) terá sinal positivo;
Quando x > 5/2, g(x) terá sinal negativo;
Quando x > 25/3, g(x) terá sinal negativo.


Agora fazemos o jogo de sinal (+ com - ou - com +) para obtermos o sinal de f(x).g(x)


Para f(x).g(x) observamos:
Quando x < 5/2, f(x).g(x) terá sinal negativo;
Quando x > 5/2, f(x).g(x) terá sinal positivo;
Quando x > 25/3, f(x).g(x) terá sinal negativo.


Assim, já temos a solução da inequação. Como nos interessa apenas os valores de x para os quais a inequação é ≥ 0, então pegamos o intervalo que vai de 5/2 a 25/3 que é onde a inequação tem sinal positivo.

De forma que "f(x).g(x) ≥ 0 quando 5/2 ≤ x ≤ 25/3".

Respondendo a pergunta "Quantos números inteiros satisfazem a inequação?". Basta pegar todos os números inteiros que estão nesse intervalo de 5/2 a 25/3.

Sabemos que 5/2 = 2,5 e que 25/3 = 8,33...
Assim os números inteiros que estão nesse intervalo são:
3, 4, 5, 6, 7, 8

De forma que temos 6 números inteiros. E a resposta é a letra d).