Question

Quantos números inteiros são soluções da inequação: 3x-2/x-6 < 1?
a. seis
b. sete
c. oito
d.nove
e. infinitos

Answer 1

Ola Whosmb

(3x - 2)/(x - 6) < 1

(x - 6)(x + 2) = < 1

x = 6
x = -2

-2 < x < 6

soluções interiras

(-1,0,1,2,3,4,5) ⇒ n = 7 números (B)

.

Answer 2

Toda função da forma ax + b graficamente é uma reta crescente ou decrescente dependendo do "a" respectivamente ser positivo ou negativo. Esta reta sempre cortará o eixo das abscissas em "x" = -b/a. Considerando  isso a função assumirá o mesmo sinal do "a" para todos os valores de "x" à direita do -b/a logo terá sinal contrário ao de "a" para os valores de "x" à esquerda de -b/a.
(3x -2)/(x -6)  - 1 < 0
(3x - 2 - x + 6)/(x - 6) < 0
( 2x + 4)/(x - 6) > 0
observando o denominador concluímos que no conjunto solução conterá  x ≠ 6 porque se x = 6  anularia o denominador e não existe divisão por zero.
Façamos um quadro auxiliar para resolução da inequação escrevendo:
na 1ª linha a função 2x + 4
na 2ª linha a função  x - 6
na 3ª linha a divisão de (2x + 4) por (x - 6)
Então para cada uma das duas funções fazer o estudo do sinal conforme acima informado para estabelecer os intervalos que elas são positivas ou negativas
Por fim depois de estabelecidos tais intervalos aplique a simples regra de sinal para a divisão (que constará na 3ª linha do quadro auxiliar).
                               ________-2___________________ ___+6____________
          2x + 4         - - - - - - - -  ↓++++++++++++++++++++++ ↓++++++++++++
             x - 6           - - - - - - --↓- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  ↓+++++++++++
(2x + 4)/(x - 6)        ++++++++ ↓ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ↓ +++++++++++
O conjunto solução para a divisão ser < 0 será conforme quadro acima
V = { x ∈ R /      -2  <  x  <  6   } 
Então os inteiros que satisfazem serão: -1  0  1  2  3  4  5  ⇒ total de 7
Observação: não foi preciso usar a restrição do  x ≠ 6 do conjunto solução porque necessariamente x <  6   
Resposta:     a quantidade de inteiros é 7 (sete)... alternativa b)