Question

Quantos números inteiros positivos são menores que 200 e não são divisíveis por três, nem por quatro?

Answer 1

vamos por partes, primeiro vamos descobrir quantos números inteiros positivos divisíveis por 3 existem:

temos então o conjunto { 3, 6, 9, ... , 198}

que é nitidamente uma PA de razão 3, a1=3 e an=198

então esse conjunto tem:

198 = 3 + 3(n-1)
198= 3n
n = 66

Então existem 66 números que são divisíveis por 3.

Agora vamos descobrir quantos números divisíveis por 4 existem:

{ 4, 8, 12, ... , 196}

que é nitidamente uma PA de razão 4, a1 = 4 e an=196

então:

196 = 4 + 4(n - 1)
196 = 4n
n = 49

Então existem 49 números que são divisíveis por 4.

Agora, precisamos nos atentar que existem alguns números que são múltiplos de 3 e 4 ao mesmo tempo. São os múltiplos de 12.

{ 12, 24, 36, ... , 192 }

Que é uma PA de razão 12, então:

192 = 12 + 12(n - 1)
192 = 12n
n = 16

Agora subtraímos os múltiplos de 3, os múltiplos de 4 e somamos os múltiplos de 12 :

200 - 66 - 49 + 16 = 101

Então existem 101 números inteiros positivos que não são divisíveis por 3 e nem por 4.