Quantos números inteiros positivos de três algarismos são iguais a cinco vezes o produto de seus algarismos?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Soluções para a tarefa
Apenas o número 175 é igual a cinco vezes seus algarismos.
Ou seja, 175 atende à propriedade pedida: 5⋅a⋅b⋅c = abc.
Restringindo os valores:
Você sempre precisa ver quais restrições precisam ser usadas nos problemas onde se pede para escrever uma relação entre um número e seus algarismos.
Antes de começar a restringir, vamos assumir que:
- a representa as centenas
- b representa as dezenas
- c representa as unidades
Primeira restrição: a, b, c não podem ser zero.
Se a for 0, teremos 0 x b x c = 0
Começando pela unidade c, sabemos que um número multiplicado por 5 vai terminar com 0 ou 5. Mas zero não pode.
Assim limitamos c = 5 (lembre que c não pode ser 0)
Por consequencia: b = k + 2 (k = 1,2,3,4,5,6,7)
Só que esse k é multiplo de 5 e k não pode ser zero.
Logo k = 5 e b = 5+2 ==> b = 7
Resta agora encontrar o valor de a.
Como b < 10, sabemos que o a não terá soma (como aconteceu com o b)
Os únicos valores possíveis para a são:
- a = 1
- a = 0 (não pode)
- a = 5 [ até que pode, mas 5⋅(5⋅7⋅5) = 875 ]
Portanto 175 é o único número possível.
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